URGENTE_SERIE
salve mi potreste spiegare questo passaggio:
SOMMATORIA (n = 0 > +oo) : (p^i)=1/(1-p)
con 0
SOMMATORIA (n = 0 > +oo) : (p^i)=1/(1-p)
con 0
Risposte
Se scrivi esplicitamente la somma parziale fino ad n ottieni:
1+p+p^2+...+p^n
Moltiplicando per 1-p si ha:
(1-p)(1+p+p^2+...+p^n)=1-p^(n+1)
Dividendo ora entrambi i membri per (1-p) ricavi che la somma parziale n-esima Sn e' uguale a:
Sn=1/(1-p)-p^(n+1)/1-p e facendo tendere n a infinito (e tenendo conto che p <1) si ha la somma della serie, cioe' proprio 1/(1-p).
Platone
1+p+p^2+...+p^n
Moltiplicando per 1-p si ha:
(1-p)(1+p+p^2+...+p^n)=1-p^(n+1)
Dividendo ora entrambi i membri per (1-p) ricavi che la somma parziale n-esima Sn e' uguale a:
Sn=1/(1-p)-p^(n+1)/1-p e facendo tendere n a infinito (e tenendo conto che p <1) si ha la somma della serie, cioe' proprio 1/(1-p).
Platone
C'è un metodo standard per esprimere le somme parziali di una serie, per
poi calcolarne il limite? perchè io ci ho provato in mille modi, ma
mi riduco sempre ad una scrittura diversa della serie, STRANO!!![:)]
qualcuno può dirmi something?
poi calcolarne il limite? perchè io ci ho provato in mille modi, ma
mi riduco sempre ad una scrittura diversa della serie, STRANO!!![:)]
qualcuno può dirmi something?
La serie indicata da skizzostrange è la ben nota serie geometrica.
No, Fury non ci sono metodi standard, anzi per la stragrande maggioranza delle serie non si riesce a calcolarne la somma tramite una formula esatta, ma solo delle approssimazioni, una volta che si sappia che converge.
Camillo
No, Fury non ci sono metodi standard, anzi per la stragrande maggioranza delle serie non si riesce a calcolarne la somma tramite una formula esatta, ma solo delle approssimazioni, una volta che si sappia che converge.
Camillo
E proprio come ti ha detto Camillo: che io sappia si sa calcolare la somma esatta solo delle serie geometriche e telescopiche.
Platone
Platone
..... e come si fa per quelle geometriche e telescopiche?
( soprattutto come si definiscono? )
non le ho mai capite a fondo le serie! per favore!!!
( soprattutto come si definiscono? )
non le ho mai capite a fondo le serie! per favore!!!
Fury, mi sembri molto impaziente....che facoltà hai scelto ? Immagino una facoltà scientifica , allora ti diranno tutto sulle serie.
Ecco comunque una piccola anticipazione :
SERIE GEOMETRICA
Sono tali le serie del tipo : somma per n da 1 a + inf di x^n e sono dette anche serie di potenze perchè si presentano sotto la forma :
1+x+x^2+..+x^n+...
x è detta ragione della serie ed è il rapporto(costante) fra un termine della serie e quello precedente.
Bene , se |x|<1 (cioè -1
se x>=1 allora la serie diverge
se x<=-1 allora la serie è indeterminata.
Se il primo termine della serie non è 1 ma , diciamo, c se la serie converge, allora converge al valore :c/(1-x).
Come esempio/esercizio prova a risolvere :
discutere il comportamento di questa serie e in caso di convergenza calcolarne la somma :
somma per n da 1 a +inf di : 3^(n+1)/(pi)^n essendo pi = pigreco
SERIE TELESCOPICA
Sono le serie del tipo : somma per n da 0 a +inf di [(b(n)-b(n+1)],dove con b(n) indico l'elemento b indice n.
Sono quindi serie del tipo (b(0)-b(1))+(b(1)-b(2))+....e i termini man mano si elidono e quindi la somma n-esima S è calcolabile e vale :b(0)-b(n+1).
Se esiste finito il limite per n che tende a +inf di b(n+1) allora la serie converge.
Un esempio di serie telescopica è quella di Mengoli :
somma per n da 1 a +inf di : (1/n -1/(n+1)) che converge e converge a 1.
Camillo
Ecco comunque una piccola anticipazione :
SERIE GEOMETRICA
Sono tali le serie del tipo : somma per n da 1 a + inf di x^n e sono dette anche serie di potenze perchè si presentano sotto la forma :
1+x+x^2+..+x^n+...
x è detta ragione della serie ed è il rapporto(costante) fra un termine della serie e quello precedente.
Bene , se |x|<1 (cioè -1
se x>=1 allora la serie diverge
se x<=-1 allora la serie è indeterminata.
Se il primo termine della serie non è 1 ma , diciamo, c se la serie converge, allora converge al valore :c/(1-x).
Come esempio/esercizio prova a risolvere :
discutere il comportamento di questa serie e in caso di convergenza calcolarne la somma :
somma per n da 1 a +inf di : 3^(n+1)/(pi)^n essendo pi = pigreco
SERIE TELESCOPICA
Sono le serie del tipo : somma per n da 0 a +inf di [(b(n)-b(n+1)],dove con b(n) indico l'elemento b indice n.
Sono quindi serie del tipo (b(0)-b(1))+(b(1)-b(2))+....e i termini man mano si elidono e quindi la somma n-esima S è calcolabile e vale :b(0)-b(n+1).
Se esiste finito il limite per n che tende a +inf di b(n+1) allora la serie converge.
Un esempio di serie telescopica è quella di Mengoli :
somma per n da 1 a +inf di : (1/n -1/(n+1)) che converge e converge a 1.
Camillo
si, faccio ingegneria civile! è vero che per adesso non mi serve sapere che cosa sono
(visto che le farò con analisi B), però mi hanno sempre suscitato grande interesse!!!!!
Guarda, ti ringrazio tanto per le spiegazioni!!! GRAZIE MILLE!!! [;)]
(visto che le farò con analisi B), però mi hanno sempre suscitato grande interesse!!!!!
Guarda, ti ringrazio tanto per le spiegazioni!!! GRAZIE MILLE!!! [;)]
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