URGENTE INTEGRALE............HELP

[Francee84]

Ragazzi gentilmente mi sapreste aiutare nella risoluzione di questo integrale per parti


∫1/2Xe-|X| dx X compreso tra meno infinito e + infinito
il testo è 1/2*X*ED e E' ELEVATO A -|X|


RAGAZZI GENTILMENTE AIUTATEMI.....UN SALUTO AL TUTTO IL FORUM

[Sk_Anonymous]

Se l'integrale da risolvere è quello scritto qui...

$int_(-oo)^(+oo) x/2*e^(-|x|)*dx$ (1)

... l'integrazione per parti e altri meccanismi 'complicati' possono essere tranquillamente lasciati da parte. Infatti, essendo la funzione integranda 'dispari' [ovvero è $f(-x)=-f(x)$...], per qualsiasi valore di $a$ è...

$int_(-a)^(+a) f(x)*dx=0$ (2)

... e pertanto il $lim_(a->oo)$ dell'integrale stesso è $0$...

cordiali saluti

lupo grigio



An old wolf may lose his teeth, but never his nature

[Camillo]

Ritengo però vada anche detto, come è , che $int_0^(+oo) (x/2)*e^(-x)dx $ converge.

[Francee84]

Gentilmente mi fareste capire come si può risolvere in maniera corretta.......visto ke domani dovrei dirlo al prof......

[Andrea2976]

France basta leggere ciò che hanno già scritto...in più dalla risposta di Camillo si evince che non c'è bisogno di calcolarlo in senso generalizzato di Cauchy (cioè integrando tra (-N,N) e poi facendo tendere N all'infinito) in quanto l'integrale non è della forma -infinito+infinito.

[Francee84]

guarda domani ho un esame e nn posso dire alla prof. ke la funzione è dispari senza sapere il xkè è dispari......x piacere aiutatemi...............vi ringrazio tuttiiiiiiiiiii

[_nicola de rosa]

"Francee84":guarda domani ho un esame e nn posso dire alla prof. ke la funzione è dispari senza sapere il xkè è dispari......x piacere aiutatemi...............vi ringrazio tuttiiiiiiiiiii

Una funzione è dispari se $f(x)=-f(-x)$.
Comunque provo a risolverti l'integrale sfruttando tale proprietà e poi brutalmente
1)$f(x)=x/2*e^(-|x|)$ ed $f(-x)=-x/2*e^(-|x|)=-f(x)$ per cui la tua funzione è dispari.
Ora $int_{-infty}^{+infty} x/2*e^(-|x|)dx$ lo scindo in due integrali tra $-infty$ e $0$ e tra $0$ e $+infty$, ricordando che nell'intervallo $(-infty,0)$ $|x|=-x$ e nell'intervallo $(0,+infty)$ $|x|=x$
per cui $int_{-infty}^{+infty} x/2*e^(-|x|)dx=int_{-infty}^{0} x/2*e^(x)dx+int_{0}^{+infty} x/2*e^(-x)dx$
Ora nell' integrale $int_{-infty}^{0} x/2*e^(x)dx$ facciamo la sostituzione $t=-x$ $->$ $dt=-dx$ e l'integrale così diventa
$int_{+infty}^{0} -t/2*e^(-t)(-dt)=int_{+infty}^{0} t/2*e^(-t)dt=-int_{0}^{+infty} t/2*e^(-t)dt$ che è uguale ed opposto all'altro per cui la loro somma è nulla

2)Brutalmente ti faccio l'integrazione per parti
$int_{-infty}^{+infty} x/2*e^(-|x|)dx=int_{-infty}^{0} x/2*e^(x)dx+int_{0}^{+infty} x/2*e^(-x)dx$
Ora $int_{-infty}^{0} x/2*e^(x)dx=[x/2*e^x]_{-infty}^{0}-[e^x/2]_{-infty}^{0}=-1/2$ mentre
$int_{0}^{+infty} x/2*e^(-x)dx=[-x/2*e^(-x)]_{0}^{+infty}+[-e^(-x)/2]_{0}^{+infty}=1/2$ per cui
$int_{-infty}^{+infty} x/2*-e^(-|x|)dx=int_{-infty}^{0} x/2*e^(x)dx+int_{0}^{+infty} x/2*e^(-x)dx=-1/2+1/2=0$