Upper bound somma esponenziali negativi
Ciao a tutti,
qualcuno conosce o può indicarmi degli upper bound per somme di esponenziali negativi?
Ad esempio, io ho trovato questo:
$$ \sum_{s=x+1}^{\infty} e^{-ks} \leq \frac{1}{k}e^{-kx} $$
Qualcuno ne conosce il nome? Magari vedendo la dimostrazione riesco a ricavarne qualcosa.
Il problema che ho è che la mia somma parte da $1$ (quindi $x=0$) e ho un bound costante. Io invece vorrei un bound che sia decrescente, il che mi pare abbia senso visto che con l'aumentare di $s$ i termini aggiunti sono esponenzialmente più piccoli. Idealmente vorrei una disuguaglianza del tipo
$$ \sum_{s=x+1}^{\infty} e^{-ks} \leq \frac{1}{k}e^{-k f(s)} $$
dove $f(s)$ è una funzione di $s$ non decrescente.
qualcuno conosce o può indicarmi degli upper bound per somme di esponenziali negativi?
Ad esempio, io ho trovato questo:
$$ \sum_{s=x+1}^{\infty} e^{-ks} \leq \frac{1}{k}e^{-kx} $$
Qualcuno ne conosce il nome? Magari vedendo la dimostrazione riesco a ricavarne qualcosa.
Il problema che ho è che la mia somma parte da $1$ (quindi $x=0$) e ho un bound costante. Io invece vorrei un bound che sia decrescente, il che mi pare abbia senso visto che con l'aumentare di $s$ i termini aggiunti sono esponenzialmente più piccoli. Idealmente vorrei una disuguaglianza del tipo
$$ \sum_{s=x+1}^{\infty} e^{-ks} \leq \frac{1}{k}e^{-k f(s)} $$
dove $f(s)$ è una funzione di $s$ non decrescente.
Risposte
Ciao salemold,
Forse ti può essere utile la somma di una progressione geometrica con indice che non parte da $0$:
$t^m + t^{m + 1} + ... + t^{n - 1} + t^n = \sum_{s=m}^{n} t^s = frac{t^m - t^{n + 1}}{1 - t} $
se $t \ne 1$. Nel tuo caso $t := e^{-k} $ è sicuramente minore di $1$ se $k > 0 $ e $m := x + 1 $. Se ora $n \to +\infty $ si ottiene:
$ \sum_{s=x + 1}^{+\infty} t^s = frac{t^{x + 1}}{1 - t} $
cioè
$ \sum_{s=x + 1}^{+\infty} e^{-ks} = frac{e^{-k(x + 1)}}{1 - e^{-k}} = frac{e^{-k}}{1 - e^{-k}} e^{-kx} = frac{1}{e^{k} - 1} e^{-kx}$
Ora
$ e^k = sum_{i = 0}^{+\infty} frac{k^i}{i!} \ge 1 + k \implies e^k - 1 \ge k \implies frac{1}{e^{k} - 1} \le 1/k $
Perciò si ha:
$ \sum_{s=x + 1}^{+\infty} e^{-ks} = frac{e^{-k}}{1 - e^{-k}} e^{-kx} = frac{1}{e^{k} - 1} e^{-kx} \le 1/k e^{-kx} $
come volevasi dimostrare.
Forse ti può essere utile la somma di una progressione geometrica con indice che non parte da $0$:
$t^m + t^{m + 1} + ... + t^{n - 1} + t^n = \sum_{s=m}^{n} t^s = frac{t^m - t^{n + 1}}{1 - t} $
se $t \ne 1$. Nel tuo caso $t := e^{-k} $ è sicuramente minore di $1$ se $k > 0 $ e $m := x + 1 $. Se ora $n \to +\infty $ si ottiene:
$ \sum_{s=x + 1}^{+\infty} t^s = frac{t^{x + 1}}{1 - t} $
cioè
$ \sum_{s=x + 1}^{+\infty} e^{-ks} = frac{e^{-k(x + 1)}}{1 - e^{-k}} = frac{e^{-k}}{1 - e^{-k}} e^{-kx} = frac{1}{e^{k} - 1} e^{-kx}$
Ora
$ e^k = sum_{i = 0}^{+\infty} frac{k^i}{i!} \ge 1 + k \implies e^k - 1 \ge k \implies frac{1}{e^{k} - 1} \le 1/k $
Perciò si ha:
$ \sum_{s=x + 1}^{+\infty} e^{-ks} = frac{e^{-k}}{1 - e^{-k}} e^{-kx} = frac{1}{e^{k} - 1} e^{-kx} \le 1/k e^{-kx} $
come volevasi dimostrare.
Grazie!
Non avevo pensato che in realtà la somma si può calcolare esattamente. Quando ho visto un testo che usava l'upper bound ho dato per scontato che lo usasse perché necessario.
Quindi ne concludo che il bound
$$ \sum_{s=x+1}^{\infty} e^{-ks} \leq \frac{1}{k}e^{-kx} , k>0$$
sia un po' "loose" quando in effetti si può usare $\frac{e^{-k}}{1-e^{-k}}$ invece di $\frac{1}{k}$.
Non avevo pensato che in realtà la somma si può calcolare esattamente. Quando ho visto un testo che usava l'upper bound ho dato per scontato che lo usasse perché necessario.
Quindi ne concludo che il bound
$$ \sum_{s=x+1}^{\infty} e^{-ks} \leq \frac{1}{k}e^{-kx} , k>0$$
sia un po' "loose" quando in effetti si può usare $\frac{e^{-k}}{1-e^{-k}}$ invece di $\frac{1}{k}$.
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