Uno sviluppo in serie di un problema più ampio

[kaimano1]

Riporto un passaggio del libro metodi matematici per la fisica autore Arfken-Weber dove per una funzione di trasferimento su un'equazione di Bessel viene fatto uno sviluppo in serie di potenze negative per s e convergente per s>1 (pag983 del libro):

la funzione $f(s)= C/s *(1+1/s^2)^(-1/2) = C/s*[1-1/(2s^2)+(1*3)/(2^2 *2! s^4)-.......+(-1)^n((2n)!)/((2^n n!)^2 s^(2n))+......]$

francamente mi sembra lo sviluppo della funzione $(1+x)^(-1/2)$ centrata in x=0 andando a sostituire la variabile x con 1/s^2.......mi sembra!
tuttavia se provate a fare lo sviluppo a mano al numeratore vi accorgerete che esce un (2n+1)!! che può diventare attraverso una formula che mi è ancora oscura
$((2n+1)!)/(2^n n!)$ da cui il numeratore rimane un fattoriale dispari.

Qualcuno riesce a risolvermi l'arcano ? anche la formula oscura se qualcuno potesse darmi una dritta

grazie

[dissonance]

La formula oscura è molto facile. $(2n+1)!!$ è il prodotto dei numeri dispari fino all'$(n+1)$-esimo:

$(2*1+1)!! =3!! =1*3$
$(2*2+1)!! =5!! =1*3*5$

and so on. La formula oscura dice che puoi fare questo conto calcolando invece il prodotto di tutti i numeri fino a $2n+1$ e poi dividendo per i numeri pari.

$((2*1+1)!)/(2^1 1!)=(3!)/(2!)=(3*2)/(2)=3$;
$((2*2+1)!)/(2^2 2!)=(5!)/(4*2)=(2*3*4*5)/(4*2)=3*5$

eccetera.

[kaimano1]

grazie .....anche se non sono arrivato alla conclusione del libro di ottenere il polinomio J0(t) di Bessel:
$C/s*[1-1/(2s^2)+(1*3)/(2^2 *2! s^4)-.......+(-1)^n((2n+1)!)/((2^n n!)^2 s^(2n))+......] =C/s*[1-1/(2s^2)+(1*3)/(2^2 *2! s^4)-.......+(-1)^n((2n)!(2n+1))/((2^n n!)^2 s^(2n))+......]$ utilizzando la relazione $L{t^n}=(n!)/s^(n+1)$ ottieni $F(t)=Csum_(n=0)^\infty((-1)^n t^(2n) (2n+1))/((2^n n!)^2)$ anzichè quella del libro

$F(t)=Csum_(n=0)^\infty((-1)^n t^(2n))/((2^n n!)^2)= J_0(t)$ se C=1