Uno sviluppo di Taylor in due variabili
Salve,
In uno sviluppo di Taylor trovo un resto diverso da quello che trova il libro.
Devo sviluppare la seguente funzione intorno al punto $(x,y)$:
$f(x+h,y+hf(x,y))$
Ho calcolato $f(x+h,y+hf(x,y))=f(x,y)+f_x(x,y)h+f_y(x,y)hf(x,y)+O(norm(h,hf(x,y)))$
Andando a calcolare il resto mi viene ($h$ è positivo, è una discretizzazione di un intervallo) $O(norm(h,hf(x,y)))=O(sqrt(h^2+h^2f^2(x,y)))=O(hsqrt(1+f^2(x,y)))=O(h)$
Mentre nel libro viene $O(h^2)$ e non capisco perché. La funzione $f(x,y)$ non dipende da $h$.
(Questo risultato contribuisce a determinare consistenza e ordine del metodo alle differenze finite di Heun)
In uno sviluppo di Taylor trovo un resto diverso da quello che trova il libro.
Devo sviluppare la seguente funzione intorno al punto $(x,y)$:
$f(x+h,y+hf(x,y))$
Ho calcolato $f(x+h,y+hf(x,y))=f(x,y)+f_x(x,y)h+f_y(x,y)hf(x,y)+O(norm(h,hf(x,y)))$
Andando a calcolare il resto mi viene ($h$ è positivo, è una discretizzazione di un intervallo) $O(norm(h,hf(x,y)))=O(sqrt(h^2+h^2f^2(x,y)))=O(hsqrt(1+f^2(x,y)))=O(h)$
Mentre nel libro viene $O(h^2)$ e non capisco perché. La funzione $f(x,y)$ non dipende da $h$.
(Questo risultato contribuisce a determinare consistenza e ordine del metodo alle differenze finite di Heun)
Risposte
Ciao AnalisiZero,
Un metodo ha ordine (di consistenza) $p \in \ZZ_+ $ se $\AA (x_0, y_0) \in S $ e $\AA f \in F_p(S) $ risulta
$\tau(x_0, y_0; h) = O(h^p) $
per $h \to 0 $, ove $\tau(x_0, y_0; h) $ è l'errore locale unitario di troncamento del metodo:
$\tau(x_0, y_0; h) = 1/h [u(x_0 + h) - u(x_0) - h\Phi(x_0, y_0; h)] $
ove $ y_0 = u(x_0) $ e in generale si possono costruire metodi di ordine $p\ge 2 $ ponendo
$ \Phi(x_0, y_0; h) = a_1 f(x_0, y_0) + a_2 f(x_0 + bh, y_0 + bhf(x_0, y_0)) $
Sviluppando in serie di Taylor $ \Phi(x_0, y_0; h) $ nell'intorno del punto $ (x_0, y_0; 0) $ si ottiene:
$ \Phi(x_0, y_0; h) = a_1 f(x_0, y_0) + a_2[f(x_0, y_0) + bh f_x(x_0, y_0) + bhf_y(x_0, y_0) f(x_0, y_0)] + O(h^2) = $
$ = (a_1 + a_2) f(x_0, y_0) + a_2bh[f_x(x_0, y_0) + f_y(x_0, y_0)f(x_0, y_0)] + O(h^2) $
Il metodo $\Phi$ avrà ordine $p = 2$ se e solo se risulteranno nulli i coefficienti delle potenze $h^0 $ e $h$ dello sviluppo in serie dell'errore locale di troncamento $\tau(x_0, y_0; h) $, cioè se e solo se i coefficienti $a_1$, $a_2$ e $b$ soddisfano le condizioni seguenti:
${(a_1 + a_2 = 1),(a_2 b = 1/2):} $
Il metodo di Heun si ottiene scegliendo $a_1 = a_2 = 1/2 $ e $b = 1 $.
Un metodo ha ordine (di consistenza) $p \in \ZZ_+ $ se $\AA (x_0, y_0) \in S $ e $\AA f \in F_p(S) $ risulta
$\tau(x_0, y_0; h) = O(h^p) $
per $h \to 0 $, ove $\tau(x_0, y_0; h) $ è l'errore locale unitario di troncamento del metodo:
$\tau(x_0, y_0; h) = 1/h [u(x_0 + h) - u(x_0) - h\Phi(x_0, y_0; h)] $
ove $ y_0 = u(x_0) $ e in generale si possono costruire metodi di ordine $p\ge 2 $ ponendo
$ \Phi(x_0, y_0; h) = a_1 f(x_0, y_0) + a_2 f(x_0 + bh, y_0 + bhf(x_0, y_0)) $
Sviluppando in serie di Taylor $ \Phi(x_0, y_0; h) $ nell'intorno del punto $ (x_0, y_0; 0) $ si ottiene:
$ \Phi(x_0, y_0; h) = a_1 f(x_0, y_0) + a_2[f(x_0, y_0) + bh f_x(x_0, y_0) + bhf_y(x_0, y_0) f(x_0, y_0)] + O(h^2) = $
$ = (a_1 + a_2) f(x_0, y_0) + a_2bh[f_x(x_0, y_0) + f_y(x_0, y_0)f(x_0, y_0)] + O(h^2) $
Il metodo $\Phi$ avrà ordine $p = 2$ se e solo se risulteranno nulli i coefficienti delle potenze $h^0 $ e $h$ dello sviluppo in serie dell'errore locale di troncamento $\tau(x_0, y_0; h) $, cioè se e solo se i coefficienti $a_1$, $a_2$ e $b$ soddisfano le condizioni seguenti:
${(a_1 + a_2 = 1),(a_2 b = 1/2):} $
Il metodo di Heun si ottiene scegliendo $a_1 = a_2 = 1/2 $ e $b = 1 $.
"pilloeffe":
Ciao AnalisiZero,
Un metodo ha ordine (di consistenza) $p \in \ZZ_+ $ se $\AA (x_0, y_0) \in S $ e $\AA f \in F_p(S) $ risulta
$\tau(x_0, y_0; h) = O(h^p) $
per $h \to 0 $, ove $\tau(x_0, y_0; h) $ è l'errore locale unitario di troncamento del metodo:
$\tau(x_0, y_0; h) = 1/h [u(x_0 + h) - u(x_0) - h\Phi(x_0, y_0; h)] $
ove $ y_0 = u(x_0) $ e in generale si possono costruire metodi di ordine $p\ge 2 $ ponendo
$ \Phi(x_0, y_0; h) = a_1 f(x_0, y_0) + a_2 f(x_0 + bh, y_0 + bhf(x_0, y_0)) $
Sviluppando in serie di Taylor $ \Phi(x_0, y_0; h) $ nell'intorno del punto $ (x_0, y_0; 0) $ si ottiene:
$ \Phi(x_0, y_0; h) = a_1 f(x_0, y_0) + a_2[f(x_0, y_0) + bh f_x(x_0, y_0) + bhf_y(x_0, y_0) f(x_0, y_0)] + O(h^2) = $
$ = (a_1 + a_2) f(x_0, y_0) + a_2bh[f_x(x_0, y_0) + f_y(x_0, y_0)f(x_0, y_0)] + O(h^2) $
Il metodo $\Phi$ avrà ordine $p = 2$ se e solo se risulteranno nulli i coefficienti delle potenze $h^0 $ e $h$ dello sviluppo in serie dell'errore locale di troncamento $\tau(x_0, y_0; h) $, cioè se e solo se i coefficienti $a_1$, $a_2$ e $b$ soddisfano le condizioni seguenti:
${(a_1 + a_2 = 1),(a_2 b = 1/2):} $
Il metodo di Heun si ottiene scegliendo $a_1 = a_2 = 1/2 $ e $b = 1 $.
Nel mio libro/corso un metodo è definito consistente se $tau(h)->0$ per $h->0$
Dove $tau:=max_(x_0<=x<=b-h)|tau(x,h)|$ è l'errore locale di discretizzazione nell'intervallo $[x_0,b]$
e $tau(x,h):=1/h[y(x+h)-y(x)]-phi(x,y(x))$ è l'errore locale di discretizzazione nel punto x.
Il metodo si dice di ordine p se $tau(h)=O(h^p)$.
Probabilmente il tutto è equivalente a come lo hai scritto tu.
Ho provato a fare un esercizio (metodo monostep esplicito studiare la convergenza al variare di alcuni parametri) ma dopo lo sviluppo di Taylor mi sono bloccato, non capisco come usare le condizioni per la consistenza.
"AnalisiZero":
Ho provato a fare un esercizio (metodo monostep esplicito studiare la convergenza al variare di alcuni parametri) ma dopo lo sviluppo di Taylor mi sono bloccato, non capisco come usare le condizioni per la consistenza.
Beh, se non mostri l'esercizio è difficile che ti si possa aiutare...
"pilloeffe":
[quote="AnalisiZero"]Ho provato a fare un esercizio (metodo monostep esplicito studiare la convergenza al variare di alcuni parametri) ma dopo lo sviluppo di Taylor mi sono bloccato, non capisco come usare le condizioni per la consistenza.
Beh, se non mostri l'esercizio è difficile che ti si possa aiutare...
[/quote]Sono riuscito a risolverlo, l'esercizio era:
Dato il seguente metodo alle differenze finite
${(eta_(i+1)=eta_i+h/7[alphaf(x_i,eta_i)+f(x_i+alphabetah,eta_i+alphabetahf(x_i,eta_i))]) , (eta_0=y_0):}$
Classificarlo e discuterne la convergenza al variare dei parametri reali $alpha,beta$
Si ha convergenza $leftrightarrow$ consistenza+stabilià
Essendo monostep (esplicito a 2 stadi), il metodo è stabile $AAalpha,betainRR$
Si ha $phi=1/7[alphaf(x_i,eta_i)+f(x_i+alphabetah,eta_i+alphabetahf(x_i,eta_i))]$
Per la consistenza ho sviluppato $f(x_i+alphabetah,eta_i+alphabetahf(x_i,eta_i))$ intorno ad $h=0$ ottenendo un espressione per $phi$ e quindi per $tau(x,h)=f(x,y)+h/2[f_x(x,y)+f_y(x,y)f(x,y)]+O(h^2)-phi$ intorno a $h=0$.
Il minimo per la consistenza (quindi convergenza di ordine 1) è che il coefficiente in $h^0$ di $tau(x,h)$ si annulli, quindi è sufficiente che sia $alpha=6$. Per la convergenza di ordine 2 si deve contemporaneamente annullare anche il coefficiente di $h^1$ e viene $alpha=6$ e $beta=7/12$. Risultati concordi col testo dell'esercizio (c'era un banale errore di calcolo che mi faceva ottenere risultati sbagliati).
Ti ringrazio.
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