Uno studio di funzione...

[giulia.9911]

Salve a tutti,
mio prof ama lo studio di funzione che viene dato in questa forma:
-studiare la funzione F(x)=\( \int_1^x ln (t)/(t-1)\ \text{d} t \)
-dimonstrare che 1 è un estremo di integrazione

La mia domanda è: come devo studiarla? Come faccio passare dalla f(t) in f(x) escludendo la risoluzione immediata dell' integrale.

Grazie in anticipo a tutti!

[quantunquemente]

ci sono varie cosette di cui tener conto :prima di tutto il teorema fondamentale del calcolo integrale che ti dice che $F'(x)=f(x)$
in generale,è bene cominciare con uno studio rapido della funzione integranda

metto comunque in spoiler la mia soluzione

la funzione integranda ha come dominio $(0,+infty)-{1}$
è sempre positiva
$ lim_(x -> 1) f(x)=1 ; lim_(x -> 0^+) f(x)=+infty ; lim_(x -> +infty) f(x)=0 $
effettivamente,lo studio della sua derivata non è agevole,ma fortunatamente ci bastano le informazioni acquisite per passare ad $F(x)$
cominciamo col dire subito che per quanto già visto non ci sono problemi nel calcolare $ int_(1)^(1) f(t) dt $ ed il risultato è $0=F(1)$
inoltre ,essendo $f(x)>0,F(x)<0 $ per $00$ per $x>1$
per lo stesso motivo,la $F(x)$ è strettamente crescente
inoltre, $ int_(0)^(1) f(t) dt$ è convergente perchè $f(x)$ è un infinito di ordine minore di $1$ per $x rarr 0$;quindi,$0$ fa parte del dominio di $F(x)$
$ int_(1)^(+infty) f(t) dt=+infty $ perchè $f(x)$ è un infinitesimo di ordine inferiore ad $1$ per $x rarr+infty$;quindi, $ lim_(x -> +infty) F(x)=+infty $

[mazzarri1]

Leggi anche le cose scritte su questo forum da Camillo e tanti altri forumisti sull'argomento

viewtopic.php?f=36&t=25340

[quantunquemente]

@giulia
una curiosità : se 99 sta per la tua data di nascita,hai 16 anni

il tuo professore è un pazzo o frequenti una classe per allievi precoci?

[giulia.9911]

Grazieeeeeeeeee Tanto tanto tanto a quantunquemente e mazzarri!!!!
Ho seguito lo svolgimento e ho capito l'errore commesso, anche se ho difficoltà di capire fino in fondo il limite di una funzione integrata. Ora mi studio anche il link, vediamo se supero la giornata

[quantunquemente]

per favore,puoi soddisfare la mia curiosità?
quella esposta sul post precedente a questo


edit : no, a quanto pare non può

[giulia.9911]

99 è un numero preso a caso, non ho pensato all'anno di nascita. Studio all'università e devo fare l'esame di analisi 1 che è il mio tallone di Achille.

Grazie ancora!

PS: Se avete dei suggerimenti per lo studio delle successioni e serie numeriche accolgo con piacere ogni link o consiglio.

[quantunquemente]

ah,ecco
adesso,mi sono tranquillizzato

[mazzarri1]

Giulia
Lo studio della funIone inttegrale e molto interessante. Ti consiglio di leggere attentamente il link dedicato che ti ho postato prima.
In pratica studi con attenzione la funzione integranda sapendo che rappresenta la derivata di quello che devi studiare e ricavi info piu che puoi per farti una idea di come sara la tua F(x)
Ciao