Univocità di una funzione

[andrea.corzino]

Salve

Non riesco a capire la seguente affermazione :

"Siano le soluzioni dell'equazione precedente:

$ f(phi)=A_me^(imphi $
$ f(phi)=A_(-m)e^(-imphi $

La condizione che garantisce che $ f(phi) $ sia una funzione UNIVOCA in $ phi $ è:
$ f(phi+2pi)=f(phi) $ "

P.s: $ A_m $ è una semplice costante e $ m $ è un qualunque numero di $ Z $

Ecco non capisco perchè sia questa la condizione che garantisce a questa funzione(che è trigonometrica e dunque si ripete)l'unicità della soluzione per ogni valore di $ phi $

Mi pare che le due funzioni siano delle funzioni trigonometriche nel senso che possono essere riscritte come:
$ f(phi)=A_m[cos(mphi)+isen(mphi)] $
$ f(phi)=A_m[cos(-mphi)+isen(-mphi)] $

Ma come mai la condizione che garantisce l'unicità è quella li? Cioè quella mi pare che sia la condizione di periodicità di una funzione (ed è logico visto che siamo in presenza di una funzione di sen e cos) ma non capisco perchè $ (phi+2pi) $ e non ad esempio $ (phi+(2pi)/m) $ visto che il periodo non mi pare semplicemente essere $ 2pi $ , periodo tipico di una funzione $ senphi,cosphi... $

Grazie!

[Sk_Anonymous]

Ciao.

È da molti anni che non ho a che fare con l'analisi complessa, quindi "prendi con le pinze" la mia interpretazione.

Credo che il termine "univoca" sia semplicemente sinonimo di "monodroma".

Il discorso sulla periodicità della funzione c'entra relativamente con il discorso dell'univocità; la funzione data è sia univoca che periodica, ma la sua corrispondenza inversa, nel contesto dell'analisi complessa, costituisce ciò che viene denominato con il termine di funzione "polidroma".

Nel contesto dell'analisi complessa il concetto classico di funzione (cioè la funzione che associa ad un elemento del dominio un unico elemento del codominio) viene meno.

Esempio:

$f(z)=e^z$

Se si considerasse $z in RR$, la funzione esponenziale, notoriamente non periodica, sarebbe invertibile senza problemi tramite il logaritmo, ma se si avesse $z in CC$, la funzione esponenziale sarebbe periodica con periodo $2pii$, quindi la funzione logaritmica non sarebbe più una funzione in senso tradizionale, essendo questa dotata di più "rami" (nel senso che ad un elemento del dominio corrispondono più elementi del codominio).

Non so se il mio contributo sia stato utile.

Saluti.