Unione finita limitati è limitata
Vi propongo la mia risoluzione del seguente esercizio:
Sia $(X,d)$ spazio metrico. Un'unione finita di sottoinsiemi limitati (ovvero di diametro finito, ovvero contenuti in una palla) è un sottoinsieme limitato (con diametro di un sottoinsieme di uno spazio metrico intendo il sup dell'insieme delle distanze dei suoi elementi, ovvero se $A\subseteq X$, $diam(A)=$sup${d(x,y) : x,y\in A}$).
Svolgimento:
Se dimostro che un'unione finita di palle è limitata (è contenuta in una palla), ho concluso (un'unione finita di limitati è contenuta in un'unione finita di palle). Considero l'unione di due palle, siano esse $B(a,r]$, $B(b,r']$. Sia $\bar{x}\in B(a,r]\cup B(b,r']$. Allora $\bar{x}\in B(a,r]$ o $\bar{x}\in B(b,r']$. Mettiamo che $\bar{x}\in B(a,r]$. Allora $B(a,r]\cup B(b,r']\subseteq B(\bar{x},diam(A)+diam(B)+d(a,b)]$ (infatti sia $x\in B(a,r]\cup B(b,r']$; se $x\in B(a,r]$, allora $d(x,\bar{x})\leq diam(A)\leq diam(A)+diam(B)+d(a,b)$, altrimenti $d(x,\bar{x})\leq d(x,b)+d(b,a)+d(a,\bar{x})\leq diam(B)+d(a,b)+diam(A)$). Idem se $\bar{x}\in B(b,r']$. Si conclude per induzione.
A qualcuno viene in mente qualcosa di più economico per dimostrarlo? Grazie.
Sia $(X,d)$ spazio metrico. Un'unione finita di sottoinsiemi limitati (ovvero di diametro finito, ovvero contenuti in una palla) è un sottoinsieme limitato (con diametro di un sottoinsieme di uno spazio metrico intendo il sup dell'insieme delle distanze dei suoi elementi, ovvero se $A\subseteq X$, $diam(A)=$sup${d(x,y) : x,y\in A}$).
Svolgimento:
Se dimostro che un'unione finita di palle è limitata (è contenuta in una palla), ho concluso (un'unione finita di limitati è contenuta in un'unione finita di palle). Considero l'unione di due palle, siano esse $B(a,r]$, $B(b,r']$. Sia $\bar{x}\in B(a,r]\cup B(b,r']$. Allora $\bar{x}\in B(a,r]$ o $\bar{x}\in B(b,r']$. Mettiamo che $\bar{x}\in B(a,r]$. Allora $B(a,r]\cup B(b,r']\subseteq B(\bar{x},diam(A)+diam(B)+d(a,b)]$ (infatti sia $x\in B(a,r]\cup B(b,r']$; se $x\in B(a,r]$, allora $d(x,\bar{x})\leq diam(A)\leq diam(A)+diam(B)+d(a,b)$, altrimenti $d(x,\bar{x})\leq d(x,b)+d(b,a)+d(a,\bar{x})\leq diam(B)+d(a,b)+diam(A)$). Idem se $\bar{x}\in B(b,r']$. Si conclude per induzione.
A qualcuno viene in mente qualcosa di più economico per dimostrarlo? Grazie.
Risposte
Forse questo: Sia $A_i$ una famiglia finita di limitati. Allora per ogni $i$ esiste $r_i$ tale che $A_i\subseteq B(0,r_i)$. Posto $r=\max\{r_i\ : i}$ si ha $\bigcup_iA_i\subseteq B(0,r)$.
Vero. In effetti, dato $A\subseteq X$ limitato ed $\bar{x}\in X$ qualunque (in effetti in uno spazio metrico non si può parlare di origine, vero?), esiste una palla centrata in $\bar{x}$ che contenga $A$ (per esempio di raggio uguale a $diam(A)+d(\bar{x},a)$, ove $a$ è un qualunque elemento di $A$; infatti sia $b\in A$. allora $d(b,\bar{x})\leq d(b,a)+d(a,\bar{x})\leq diam(A)+d(\bar{x},a)$). E si conclude come hai detto tu. Grazie!
Si, vero, ho usato $0$, ma basta appunto un punto qualunque, fissato per tutti.
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