Uniformità e Teorema di Cantor
Salve, da un po' sto ragionando su un dubbio, anche a livello "lessicale", riguardante la relazione tra continuità e uniforme continuità.
Leggendo sul testo viene detto che, "data una funzione $ f: X-> R $
la lipschitzianità implica l'uniforme continuità, che a sua volta implica la continuità".
E' da specificare che la continuità viene descritta in riferimento sia a un singolo punto (quindi la funzione dovrebbe essere continua in $x_0$ se $x_0$ appartiene al dominio della funzione), sia in riferimento a un intervallo (chiuso), nel caso in cui non vi sia alcun punto di discountinuità.
Dato che a quanto vedo per ovvi motivi l'uniforme continuità è legata solo all'intervallo, presuppongo la definizione faccia riferimento alla applicazione sull'intervallo anche nel caso si discontinuità "standard".
Tuttavia a questo punto si introduce il Teorema di Heine Cantor, che contraddice quanto detto precedentemente, e cioè, che se abbiamo una funzione $ f: [a,b] -> R $ , ed $ f $ è una funzione continua in $ [a,b] $ , allora $f$ è anche uniformemente continua.
Da come lo interpreto, esso afferma l'esatto opposto della definizione data in precedenza.
Sapreste dirmi cosa mi sta sfuggendo? Grazie.
Leggendo sul testo viene detto che, "data una funzione $ f: X-> R $
la lipschitzianità implica l'uniforme continuità, che a sua volta implica la continuità".
E' da specificare che la continuità viene descritta in riferimento sia a un singolo punto (quindi la funzione dovrebbe essere continua in $x_0$ se $x_0$ appartiene al dominio della funzione), sia in riferimento a un intervallo (chiuso), nel caso in cui non vi sia alcun punto di discountinuità.
Dato che a quanto vedo per ovvi motivi l'uniforme continuità è legata solo all'intervallo, presuppongo la definizione faccia riferimento alla applicazione sull'intervallo anche nel caso si discontinuità "standard".
Tuttavia a questo punto si introduce il Teorema di Heine Cantor, che contraddice quanto detto precedentemente, e cioè, che se abbiamo una funzione $ f: [a,b] -> R $ , ed $ f $ è una funzione continua in $ [a,b] $ , allora $f$ è anche uniformemente continua.
Da come lo interpreto, esso afferma l'esatto opposto della definizione data in precedenza.
Sapreste dirmi cosa mi sta sfuggendo? Grazie.
Risposte
La differenza principale tra la continuità e l'uniforme continuità è che la prima ha sia la forma globale che quella puntuale, mentre l'uniforme continuità è una proprietà intrinsecamente globale.
Quindi il teorema di Heine-Cantor dice che se una funzione è continua su $[a,b]$, allora è anche uniformemente continua.
Quindi il teorema di Heine-Cantor dice che se una funzione è continua su $[a,b]$, allora è anche uniformemente continua.
@Jaeger: Secondo me ciò che ti fa confondere è l'impostazione da scuola superiore; tu pensi ad una funzione come ad una espressione definita su un intervallo con uno o più punti "singolari", che interpreti come punti di discontinuità, e che cerchi di classificare con la nefasta tecnica delle superiori: singolarità di prima specie, seconda specie...
Si può parlare di continuità in ogni sottoinsieme di \(\mathbb R\), non solo negli intervalli. E lascia stare i punti di discontinuità, è una nozione che non si capisce perché tu abbia tirato in ballo. Consiglio di leggere la bellissima pagina di batmath, che ho scoperto più di dieci anni fa e mi è servita moltissimo:
http://www.batmath.it/matematica/an_uno ... t_unif.htm
Si può parlare di continuità in ogni sottoinsieme di \(\mathbb R\), non solo negli intervalli. E lascia stare i punti di discontinuità, è una nozione che non si capisce perché tu abbia tirato in ballo. Consiglio di leggere la bellissima pagina di batmath, che ho scoperto più di dieci anni fa e mi è servita moltissimo:
http://www.batmath.it/matematica/an_uno ... t_unif.htm
Grazie a entrambi e grazie per quel link, qualcosa me la ha chiarita.
Tuttavia, ancora non capisco come sia possibile che in alcuni casi la continuità non comporti la continuità uniforme nonostante il Teorema di Cantor afferma che esso è sempre vero.
Tuttavia, ancora non capisco come sia possibile che in alcuni casi la continuità non comporti la continuità uniforme nonostante il Teorema di Cantor afferma che esso è sempre vero.
Ma non è vero che il teorema di Heine-Cantor ti dice che una funzione continua è uniformemente continua, leggi bene cosa dice.
"otta96":
Ma non è vero che il teorema di Heine-Cantor ti dice che una funzione continua è uniformemente continua, leggi bene cosa dice.
Dice che ciò è vero prendendo un qualsiasi intervallo chiuso. Tuttavia, se presa una funzione, il fatto che sia continua in tutto il dominio non significa che sia anche uniformemente continua in tutto il dominio, quindi può esistere un intervallo in cui essa non è contunua in maniera uniforme... ma questo contraddice il teorema di Cantor. Quindi non so che pensare.
Non tutti gli intervalli sono chiusi.
Capirai bene le cose quando avrai anche fare con compatti per successioni. In $RR^n$ con metrica euclidea e topologia annessa i compatti equivalgono agli insiemi chiusi e limitati.
Gli intervalli chiusi e limitati sono insiemi chiusi e limitati, quindi compatti per successioni e vale il teorema di Heine-Cantor
Gli intervalli chiusi e limitati sono insiemi chiusi e limitati, quindi compatti per successioni e vale il teorema di Heine-Cantor
"Jaeger90":
[quote="otta96"]Ma non è vero che il teorema di Heine-Cantor ti dice che una funzione continua è uniformemente continua, leggi bene cosa dice.
Dice che ciò è vero prendendo un qualsiasi intervallo chiuso. Tuttavia, se presa una funzione, il fatto che sia continua in tutto il dominio non significa che sia anche uniformemente continua in tutto il dominio, quindi può esistere un intervallo in cui essa non è contunua in maniera uniforme... ma questo contraddice il teorema di Cantor. Quindi non so che pensare.[/quote]
Quello che hai scritto non ha molto senso, dovresti riformulare la frase in maniera più corretta.... secondo me sei un pò confuso sul significato di uniforme continuità.... detto terra terra, una funzione è uniformemente continua se è continua, ma non solo, in aggiunta deve valere un concetto ancora più restrittivo, cioè che a piccole variazioni della variabile indipendente devono corrispondere piccole variazioni delle immagini.... una volta che hai capito questo concetto capirai anche la definizione formale.... e fatto questo, capirai anche il teorema di Heine-Cantor che implica, per esempio, che la funzione 1/x, che è continua, non è uniformemente continua in (0,1], infatti non è un intervallo chiuso, si vede anche graficamente se hai capito la definizione, se ancora non ci credi puoi anche tentare di applicare la definizione di uniforme continuità.
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