Uniforme convergenza - successione con parametro
Ciao a tutti!
Allora, ho questa successione di funzioni con parametro:
$ f_n(x) = n^q sin (x/n) $ in $ 0 ≤ x ≤ n pi $
$ f_n(x) = 0 $ in $x > n pi$
$q in RR$
L'esercizio chiede di dire per quali valori di q la serie converge e quando uniformemente.
Per la convergenza puntuale tutto ok, converge puntualmente per $q ≤1$, diverge per $q > 1$.
In particolare, per $q=1$ converge a $f(x) = x$.
Per la convergenza uniforme invece:
io sapevo che esiste un criterio che afferma: ${f_n(x)}$ converge uniformemente ad $f(x)$ in $E sube RR$ se \( \sup_{x \in E} |f_n(x)-f(x)| \to 0 \).
Prendo il caso $q=1$:
$f_n(x) = nsin(x/n)$ in $[0, n pi]$ e la funzione limite è $x$ su $[0,+infty)$.
Applico il criterio: \( \sup |f_n(x)-f(x)| = \sup |n\sin(x/n)-x| \) in $[0,+infty)$
Studiando il segno della derivata del modulo $ cos(x/n) - 1$ si trova che ogni funzione $f_n$ è decrescente dovunque, tranne in $x=0 + 2k pi$ dove ci sono punti stazionari... e questa mi sembra un'assurdità!! In quei punti il modulo vale zero, ma non può essere questo il sup!!
dove sto sbagliando?? Esiste un procedimento più semplice...?
E poi, che in realtà mi importa di più: nella soluzione c'è scritto che la serie, per $q≤1$, converge uniformemente su ogni intervallo limitato... senza dare giustificazioni. Mi potreste dire il perché di quest'ultima precisazione?
Grazie a chi risponderà
Allora, ho questa successione di funzioni con parametro:
$ f_n(x) = n^q sin (x/n) $ in $ 0 ≤ x ≤ n pi $
$ f_n(x) = 0 $ in $x > n pi$
$q in RR$
L'esercizio chiede di dire per quali valori di q la serie converge e quando uniformemente.
Per la convergenza puntuale tutto ok, converge puntualmente per $q ≤1$, diverge per $q > 1$.
In particolare, per $q=1$ converge a $f(x) = x$.
Per la convergenza uniforme invece:
io sapevo che esiste un criterio che afferma: ${f_n(x)}$ converge uniformemente ad $f(x)$ in $E sube RR$ se \( \sup_{x \in E} |f_n(x)-f(x)| \to 0 \).
Prendo il caso $q=1$:
$f_n(x) = nsin(x/n)$ in $[0, n pi]$ e la funzione limite è $x$ su $[0,+infty)$.
Applico il criterio: \( \sup |f_n(x)-f(x)| = \sup |n\sin(x/n)-x| \) in $[0,+infty)$
Studiando il segno della derivata del modulo $ cos(x/n) - 1$ si trova che ogni funzione $f_n$ è decrescente dovunque, tranne in $x=0 + 2k pi$ dove ci sono punti stazionari... e questa mi sembra un'assurdità!! In quei punti il modulo vale zero, ma non può essere questo il sup!!
dove sto sbagliando?? Esiste un procedimento più semplice...?E poi, che in realtà mi importa di più: nella soluzione c'è scritto che la serie, per $q≤1$, converge uniformemente su ogni intervallo limitato... senza dare giustificazioni. Mi potreste dire il perché di quest'ultima precisazione?
Grazie a chi risponderà
Risposte
Ahem, mi sono accorto che stavo facendo la derivata del modulo... quindi dove l'argomento decresce, il modulo cresce 
quindi $x=0$ è un minimo... e qui altra perplessità! Visto che il modulo cresce, il sup deve per forza essere in $x = n pi$, in cui appunto assume il valore $n pi$, che però per $n to +infty$ non va a zero :S
Ha senso quello che dico...?
Ma ribadisco, mi importa di più la seconda domanda (vedi sopra)
quindi $x=0$ è un minimo... e qui altra perplessità! Visto che il modulo cresce, il sup deve per forza essere in $x = n pi$, in cui appunto assume il valore $n pi$, che però per $n to +infty$ non va a zero :SHa senso quello che dico...?
Ma ribadisco, mi importa di più la seconda domanda (vedi sopra)
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