Uniforme convergenza serie di potenze

[mazzy89-votailprof]

domanda: se una serie di potenze non converge puntualmente in nessuno dei due estremi dell'intervallo di convergenza allora non converge uniformemente in nessun intervallo?

es.

data la seguente serie:

$sum_{n=1}^oo sin(2/n)/(-3)^nx^n$

applico cauchy-hadamard e mi trovo il raggio di convergenza $rho=3$. segue allora che la serie converge assolutamente in $(-3,3)$. Vediamo la convergenza puntuale. studiando la serie agli estremi. per $x=3$ si ha $sum_{n=1}^oo (-1)^(-n)sin(2/n)$ che risulta in virtù del criterio di Leibniz divergente. Per $x=-3$ si ha la serie $sum_{n=1}^oo sin(2/n)$ che risulta anch'essa divergente. segue quindi che converge puntualmente $(-3,3)$ estremi esclusi. Allora non posso applicare il Lemma di Abel dato che non converge in nessuno dei due estremi. Allora non converge uniformemente in nessun intervallo?

[dissonance]

Ma no, non ti confondere. Come ogni serie di potenze, anche questa che hai sottomano converge uniformemente in ogni intervallo compatto contenuto nell'intervallo di convergenza.

[mazzy89-votailprof]

"dissonance":Ma no, non ti confondere. Come ogni serie di potenze, anche questa che hai sottomano converge uniformemente in ogni intervallo compatto contenuto nell'intervallo di convergenza.

ah ok quindi la seguente serie converge totalmente e quindi uniformemente in ogni intervallo del tipo $[-k,k]$ con $0

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