Uniforme convergenza di una serie di funzioni
Ciao a tutti,
ho cominciato a studiare le serie di funzioni e totale-uniforme convergenza delle stesse. Il testo su cui studio è "analisi matematica 2" seconda edizione di Enrico Giusti. L'autore dopo aver introdotto alcuni teoremi iniziali per le serie in spazi di Banach (totale convergenza, integrazione e derivazione per serie) propone due esercizi (pag. 43 es. 1.1 e 1.2). Il primo chiede di provare l'uniforme convergenza delle serie date negli intervalli indicati, e fin qui tutto bene, il secondo richiede di dimostrare che le funzioni $f(x)$ somma delle serie dell'esercio precedente sono di classe $C^1$ negli intervalli di definizione. Allora penso di derivare le $f_n(x)$ e di dimostrare la totale (e quindi uniforme convergenza) delle serie ottenute dalle $f_(n)'(x)$ e qui mi imbatto una faccenda che non mi quadra. Vi posto la serie incriminata e i miei calcoli:
$ sum_(k = 1)^(oo)k^(-2)sqrt(1-x^(2k)) $ in $(-1;1)$
Derivo e ottengo la serie
$-sum_(k = 1)^(oo)k^(-1)x^(2k-1)/sqrt(1-x^(2k))$
La mia idea è di provare la convergenza della serie delle norme, quindi cerco per $x in (-1;1)$ cerco di minorare
sup$ |k^(-1)x^(2k-1)/sqrt(1-x^(2k))| $ con una espressione che costituisca il termine di una serie convergente. E qui casca l'asino (cioè io) perché per me, essendo per $k$ fissato, $|k^(-1)x^(2k-1)/sqrt(1-x^(2k))|$ non limitata negli intorni rispettivamente destro e sinistro di $-1$ e $1$, come è possibile minorarne il sup? Io calcolo ad esempio (sempre con $k$ fissato) $lim_(x->1^-)|k^(-1)x^(2k-1)/sqrt(1-x^(2k))|=+oo$ Ormai l'errore non lo trovo più. Potete indirizzarmi verso il giusto cammino? Grazie per eventuali risposte e scusate se sono stato prolisso.
ho cominciato a studiare le serie di funzioni e totale-uniforme convergenza delle stesse. Il testo su cui studio è "analisi matematica 2" seconda edizione di Enrico Giusti. L'autore dopo aver introdotto alcuni teoremi iniziali per le serie in spazi di Banach (totale convergenza, integrazione e derivazione per serie) propone due esercizi (pag. 43 es. 1.1 e 1.2). Il primo chiede di provare l'uniforme convergenza delle serie date negli intervalli indicati, e fin qui tutto bene, il secondo richiede di dimostrare che le funzioni $f(x)$ somma delle serie dell'esercio precedente sono di classe $C^1$ negli intervalli di definizione. Allora penso di derivare le $f_n(x)$ e di dimostrare la totale (e quindi uniforme convergenza) delle serie ottenute dalle $f_(n)'(x)$ e qui mi imbatto una faccenda che non mi quadra. Vi posto la serie incriminata e i miei calcoli:
$ sum_(k = 1)^(oo)k^(-2)sqrt(1-x^(2k)) $ in $(-1;1)$
Derivo e ottengo la serie
$-sum_(k = 1)^(oo)k^(-1)x^(2k-1)/sqrt(1-x^(2k))$
La mia idea è di provare la convergenza della serie delle norme, quindi cerco per $x in (-1;1)$ cerco di minorare
sup$ |k^(-1)x^(2k-1)/sqrt(1-x^(2k))| $ con una espressione che costituisca il termine di una serie convergente. E qui casca l'asino (cioè io) perché per me, essendo per $k$ fissato, $|k^(-1)x^(2k-1)/sqrt(1-x^(2k))|$ non limitata negli intorni rispettivamente destro e sinistro di $-1$ e $1$, come è possibile minorarne il sup? Io calcolo ad esempio (sempre con $k$ fissato) $lim_(x->1^-)|k^(-1)x^(2k-1)/sqrt(1-x^(2k))|=+oo$ Ormai l'errore non lo trovo più. Potete indirizzarmi verso il giusto cammino? Grazie per eventuali risposte e scusate se sono stato prolisso.
Risposte
Per dimostrare che una funzione è \( C^1((-1,1)) \) è sufficiente dimostrare che è \( C^1([-a,a]) \) per ogni $a\in (0,1)$.
Questo tipo di argomento è spesso usato nelle questioni di derivabilità di un limite.
Questo tipo di argomento è spesso usato nelle questioni di derivabilità di un limite.
Ciao Rigel,
grazie per la puntuale risposta. Avevo immaginato che valesse ciò che hai scritto ma tra le mie conoscenze, ancora scarne, e tra le pagine del libro non ero riuscito a estrapolare ciò che mi hai suggerito. Rifletterò e poi ti farò sapere. grazie ancora
grazie per la puntuale risposta. Avevo immaginato che valesse ciò che hai scritto ma tra le mie conoscenze, ancora scarne, e tra le pagine del libro non ero riuscito a estrapolare ciò che mi hai suggerito. Rifletterò e poi ti farò sapere. grazie ancora
Apro e chiudo parentesi.
Per determinare il massimo del \(k\)-esimo addendo della serie non c'è affatto bisogno di usare il Calcolo Differenziale.
Infatti la funzione \(f_k(x):=k^{-2} \sqrt{1-x^{2k}}\) è una funzione continua, pari e non negativa in \([-1,1]\), strettamente crescente [risp. decrescente] in \([-1,0]\) [risp. \([0,1]\)]; ergo il massimo assoluto (la cui esistenza è garantita dal teorema di Weierstrass) è assunto necessariamente in \(x=0\) e vale \(f_k(0)=k^{-2}\).
Ne viene che la serie di funzioni converge totalmente, e quindi assolutamente ed uniformemente, in tutto \([-1,1]\).
Per determinare il massimo del \(k\)-esimo addendo della serie non c'è affatto bisogno di usare il Calcolo Differenziale.
Infatti la funzione \(f_k(x):=k^{-2} \sqrt{1-x^{2k}}\) è una funzione continua, pari e non negativa in \([-1,1]\), strettamente crescente [risp. decrescente] in \([-1,0]\) [risp. \([0,1]\)]; ergo il massimo assoluto (la cui esistenza è garantita dal teorema di Weierstrass) è assunto necessariamente in \(x=0\) e vale \(f_k(0)=k^{-2}\).
Ne viene che la serie di funzioni converge totalmente, e quindi assolutamente ed uniformemente, in tutto \([-1,1]\).
@gugo: l'esercizio richiedeva anche di dimostrare che la somma $f$ è di classe \( C^1((-1,1)) \).
Ciao
@gugo: grazie per l'intervento anche se quella parte l'avevo risolta proprio come hai fatto tu, infatti il mio problema stava nel dimostrare che la $f(x)$ somma di quella serie è di classe $C^1$.
Ora in base al suggerimento di Rigel posso dire questo:
$AA x in [-a,a]$ con $a in [0,1)$ sup$|k^(-1)x^(2k-1)/sqrt(1-x^(2k))| = k^(-1)a^(2k-1)/sqrt(1-a^(2k))$
poiché la funzione $|k^(-1)x^(2k-1)/sqrt(1-x^(2k))|$ è pari continua e strettamente crescente (descrescente) in $[0,a]$ ($[-a,0]$).
Dato che la serie $1/a sum_(k=1)^(oo)k^(-1)a^(2k)/sqrt(1-a^(2k))$ converge, essendo $a<1$, per il teorema del confronto posso affermare che la serie $-sum_(k=1)^(oo)k^(-1)x^(2k-1)/sqrt(1-x^(2k))$ converge totalmente e quindi uniformemente a una funzione continua $g(x)$ in $(-1,1)$ e quindi $f'(x)=g(x)$ e $f(x)$ è di classe $C^1$
Se sbaglio correggetemi pure.
Grazie ancora per i vostri interventi
@gugo: grazie per l'intervento anche se quella parte l'avevo risolta proprio come hai fatto tu, infatti il mio problema stava nel dimostrare che la $f(x)$ somma di quella serie è di classe $C^1$.
Ora in base al suggerimento di Rigel posso dire questo:
$AA x in [-a,a]$ con $a in [0,1)$ sup$|k^(-1)x^(2k-1)/sqrt(1-x^(2k))| = k^(-1)a^(2k-1)/sqrt(1-a^(2k))$
poiché la funzione $|k^(-1)x^(2k-1)/sqrt(1-x^(2k))|$ è pari continua e strettamente crescente (descrescente) in $[0,a]$ ($[-a,0]$).
Dato che la serie $1/a sum_(k=1)^(oo)k^(-1)a^(2k)/sqrt(1-a^(2k))$ converge, essendo $a<1$, per il teorema del confronto posso affermare che la serie $-sum_(k=1)^(oo)k^(-1)x^(2k-1)/sqrt(1-x^(2k))$ converge totalmente e quindi uniformemente a una funzione continua $g(x)$ in $(-1,1)$ e quindi $f'(x)=g(x)$ e $f(x)$ è di classe $C^1$
Se sbaglio correggetemi pure.
Grazie ancora per i vostri interventi
@Rigel e Ziben: Scusate, avevo letto male. 
Il suggerimento di Righello ovviamente funziona egregiamente.
Il suggerimento di Righello ovviamente funziona egregiamente.
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