Uniforme continuità e lemma della farfalla

[qwerty901]

Salve!Ho letto un quesito dove mi chiede se $x^2$ è uniformemente continua in $RR$
Sbirciando la soluzione (:-D) ho notato che usa il lemma della farfalla...mai fatto prima (neanche il mio prof. ne ha mai parlato).
Infatti la soluzione dice:
"Per il lemma della farfalla: non esistono due costanti reali A,B tali che $x^2 < A|x| + B , AAx$
Ma io mi chiedo ...e se A e B fossero numeri elevatissimi? Perchè il teorema non vale?
O il teorema "presume" di scomporre $x^2$ come $A|x| + B$ e minorarlo per lo stesso? e allora in questo caso sono d'accordo che non si potrebbe...
Mi chiarite le idee? Grazie

[Luca.Lussardi]

Dividi per $x$ e manda $x \to +\infty$...

[qwerty901]

"Luca.Lussardi":Dividi per $x$ e manda $x \to +\infty$...

ti ringrazio per la risposta ma continuo a non capire....

Ah...forse ho capito...
vuoi che faccio :
$lim (x->infty) frac{x^2}{A|x| + B} = infty $ e quindi non è uniformemente continua.
Poichè $x^2 < A|x| + B hArr frac{x^2}{A|x| + B} < 1 $
Esatto?

[Luca.Lussardi]

Era per spiegare perchè non può essere $x^20$ si avrebbe, dividendo per $x$, $x

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[qwerty901]

"Luca.Lussardi":Era per spiegare perchè non può essere $x^20$ si avrebbe, dividendo per $x$, $x

ok grazie mille! Ma anche il mio ragionamento sarebbe stato corretto?

[Fioravante Patrone1]

Mai sentito il "lemma della farfalla".

Ho trovato che ce n'è uno, ma a prima vista non vedo cosa c'entri. In ogni caso è bello il disegnino...
http://en.wikipedia.org/wiki/Butterfly_lemma

Invece intende questo:
http://www.mat.uniroma3.it/users/magrone/cam/sol6.pdf

[gugo82]

"Fioravante Patrone":Mai sentito il "lemma della farfalla".

Se ne parlò tempo fa qui... Stessa perplessità di allora?

[qwerty901]

Comunque mentre parlo di uniforme continuità vorrei chiedervi se gentilmente sapete dove trovare su internet (dispense,ecc...) la dimostrazione che se una funzione presenta derivata limitata allora è uniformemente continua.
Grazie

[dissonance]

E' un esercizio che puoi fare da solo. Ricordati di due cose:
1) una funzione Lipschitziana è a maggior ragione uniformemente continua ;
2) il teorema di Lagrange: se $f: [a, b] \to RR$ è continua e derivabile in $(a, b)$ allora esiste un punto $xi \in (a, b)$ tale che $f(b) - f(a) = f'(xi)(b-a)$. In particolare, detto $M = "sup" {|f'(xi)|\ :\ xi \in (a, b)}$ (eventualmente potrebbe essere $M=+\infty$) risulta che $|f(b)-f(a)| \le M|b-a|$.
Che succede se $M$ è finito, ovvero se la derivata è limitata?

Comunque un sito su cui l'uniforme continuità è trattata in modo simpatico è http://www.batmath.it .