Uniforme continuità
$f:[0,1]->R$
$f(x)=xlog(x)$ se $x!=0$
$f(x)=0$ se $x=0$
Questa funzione è uniformemente continua?
$f(x)=xlog(x)$ se $x!=0$
$f(x)=0$ se $x=0$
Questa funzione è uniformemente continua?
Risposte
Basta dimostrare la continuità ed applicare il teoremino...
credo che la funzione sia uniformemente continua se è estendibile con continuità a tutto l'intervallo, quindi il problema si riduce alla verifica della continuità da destra in x=0
Ma come verifico che $lim_(x->0+)xlog(x)=0$?
Trasformando il limite da calcolare in $logx/(1/x) $; a questo punto sia numeratore che denominatore tendono a $oo $ e quindi hai una forma indeterminata del tipo $[oo/oo] $ a cui si può applicare la regola di De l'Hopital arrivando facilmente al risultato.
E dalle con de l'Hopital... Lasciatelo in pace ogni tanto il marchese! 
Per risolvere il limite è molto più semplice fare la sostituzione $y=ln x$.
Per risolvere il limite è molto più semplice fare la sostituzione $y=ln x$.
Cos'hai contro de l'Hopital ?
Personalmente nulla (anche perchè il marchese è morto da tempo).
Solo che preferisco usare strumenti proporzionati alla situazione: limite "semplice", considerazioni "semplici"...
Un po' come "parete grande, pennello grande".
Solo che preferisco usare strumenti proporzionati alla situazione: limite "semplice", considerazioni "semplici"...
Un po' come "parete grande, pennello grande".
scusate se m'intrometto sull'argomento principale...
non ricordo se mi è mai capitato qualche esercizio del genere, ma si riesce a dimostrare la continuità uniforme attraverso la definizione, senza ricorrere al "teoremino"?
a dire il vero, ricordo che abbiamo cambiato testo da Analisi I ad Analisi II (dall'Apostol al Giusti) e, oltre che per le successioni e serie, proprio per la questione sulla continuità uniforme mi sono fatta prestare il primo volume del Giusti, da cui mi ritrovo qualche appunto a penna sull'Apostol.
immagino quindi che si possa dimostrare, senza citare il "teoremino", seguendo la falsa-riga della dimostrazione dello stesso, ma devo ammettere che, date le due diverse presentazioni e non avendo il testo di riferimento, ho qualche dubbio in proposito.
ciao e grazie.
non ricordo se mi è mai capitato qualche esercizio del genere, ma si riesce a dimostrare la continuità uniforme attraverso la definizione, senza ricorrere al "teoremino"?
a dire il vero, ricordo che abbiamo cambiato testo da Analisi I ad Analisi II (dall'Apostol al Giusti) e, oltre che per le successioni e serie, proprio per la questione sulla continuità uniforme mi sono fatta prestare il primo volume del Giusti, da cui mi ritrovo qualche appunto a penna sull'Apostol.
immagino quindi che si possa dimostrare, senza citare il "teoremino", seguendo la falsa-riga della dimostrazione dello stesso, ma devo ammettere che, date le due diverse presentazioni e non avendo il testo di riferimento, ho qualche dubbio in proposito.
ciao e grazie.
Probabilmente si potrà pure fare con la definizione; però maggiorare una cosa del tipo $|xlnx-ylny|$ con $epsilon$ mi pare un po' troppo laborioso.
A questo punto (come nella maggior parte dei casi) meglio il solito argomento: continuità e teorema di Cantor.
A questo punto (come nella maggior parte dei casi) meglio il solito argomento: continuità e teorema di Cantor.
grazie.
qualche esercizio semplice l'ho trovato in internet, in pagine mi pare provenienti dagli stessi siti che sono già stati citati recentemente sul forum:
http://www.batmath.it/matematica/an_uno ... _unif1.htm
tanto per rendersi conto che la definizione è di fatto utilizzabile.
ciao.
qualche esercizio semplice l'ho trovato in internet, in pagine mi pare provenienti dagli stessi siti che sono già stati citati recentemente sul forum:
http://www.batmath.it/matematica/an_uno ... _unif1.htm
tanto per rendersi conto che la definizione è di fatto utilizzabile.
ciao.
Sisi, nei casi semplici la definizione si può usare anche abbastanza speditamente...
Solo che qui avevamo un logaritmo che non sapevamo come "tappare".
Solo che qui avevamo un logaritmo che non sapevamo come "tappare".
sì, ho visto... da $(x^x)/(y^y)
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