Uniforme continuita'

[thedarkhero]

Mi chiedo se la funzione $f:[0,+oo)->RR$, $f(x)=sqrt(x)$ e' uniformemente continua o no.
Il mio sospetto e' che lo sia e che si possa scegliere $delta(epsilon)=epsilon$, ovvero che $AAa\in[0,+oo)$ se $|x-a| Non riesco pero' a provare che $|sqrt(x)-sqrt(a)|<=|x-a|$, mi date un'indicazione?

[dissonance]

Per forza non ci riesci, è falso. Prova con $a=0, x=1/2$.

[Antimius]

Osserva che $\sqrt{x}-\sqrt{y}=\frac{x-y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}$. Se escludi un intorno dell'origine (i.e. in ogni intervallo $(M, +\infty)$ con $M>0$), questa relazione può venirti in aiuto.
E in $[0,M]$? Osserva che la funzione è continua e l'insieme è chiuso e limitato (qualsiasi sia $M$).
Dovresti saper concludere.

[size=85]In ogni caso, come vedi dal controesempio di Dissonance, la tua relazione non è vera in un intorno dell'origine. Più in generale, la funzione non è lipschitziana (sai dire perché? Occhio alla crescita della derivata), quindi non puoi trovare una relazione del tipo $|\sqrt{x}-\sqrt{y}|\leq L |x-y|$ per $x,y \in [0,M]$. Altrove invece la funzione è lipschitziana.
Da qui nasce l'idea di eslcudere un intorno dell'origine in modo da aggirare il problema.[/size]

[gugo82]

@ thedarkhero: Noto che per ogni \(x,y\geq 0\) si ha:
\[
\left| \sqrt{x} -\sqrt{y}\right| \leq \sqrt{|x-y|}\; ;
\]
proprio per questo la funzione \(\sqrt{x}\) non può essere Lipschitziana (cioé soddisfare una stima del tipo \(\left| \sqrt{x} -\sqrt{y}\right| \leq L |x-y|\)) in \([0,\infty[\)... E, d'altra parte, dalla precedente disuguaglianza segue comunque l'uniforme continuità.

Ciò dimostra una cosa che certamente saprai già, cioé che non tutte le funzioni uniformemente continue sono tenute ad essere pure Lipschitziane.

[thedarkhero]

Andiamo per ordine...

@Antimius: non è certamente Lipschitziana in quanto $f'(x)=1/(2sqrt(x))$ e $lim_(x->0^+)f'(x)=+oo$.
Per quanto riguarda $(M,+oo)$ ho che $|sqrt(x)-sqrt(y)|=|x-y|/(sqrt(x)+sqrt(y))<=1/M|x-y|$ dunque scelto $delta(epsilon)=Mepsilon$ ho che $AAepsilon>0$ se $|x-y|<=delta(epsilon)=Mepsilon$ allora $|sqrt(x)-sqrt(y)|<=epsilon$.
Ma riguardo l'intorno dello $0$?

@gugo82: come ottengo quella disuguaglianza? perchè poi avendo $|x-y|<=delta(epsilon)=epsilon^2$ sarebbe automaticamente provato che $|sqrt(x)-sqrt(y)|<=epsilon$, giusto?

[Antimius]

Conosci il teorema di Heine-Cantor?

[thedarkhero]

Ho visto ora che garantisce che funzioni continue su un compatto sono uniformemente continue, ma non l'abbiamo visto dunque preferisco provarlo con qualche catena di maggiorazioni come abbiamo fatto per il caso $[M,+oo)$.
Quanto ho detto per il caso $[0,M]$ va bene no? Dovrei solo capire come ricavare la disuguaglianza che mi ha suggerito gugo...

[Antimius]

Sì, va bene. Per dimostrarla:
$|\sqrt{x}-\sqrt{y}|^2 \leq |\sqrt{x}-\sqrt{y}||\sqrt{x}+sqrt{y}|=|x-y|$.
Ora, basta estrarre la radice al primo e all'ultimo membro.

[thedarkhero]

Giusto, ottima idea!
Grazie ad entrambi!!

[dissonance]

Non ho capito perché usare la lipschitzianità. Una volta che uno ha la disuguaglianza \(\lvert \sqrt{x}-\sqrt{y}\rvert\le\lvert x-y\rvert^{\frac{1}{2}}\) ricava direttamente l'uniforme continuità da lì, con $\delta = \sqrt{\epsilon}$.

[Antimius]

@dissonance: se ti riferisci a quello che ho scritto più su, semplicemente perché, prima che la scrivesse gugo, la stima non mi era venuta in mente e avevo trovato un altro modo di risolvere il problema, cioè usare Heine-Cantor e sfruttare la lipschitzianità (escluso un intorno dell'origine)

[thedarkhero]

In buona sostanza Antimius e Gugo hanno proposto due strade differenti: Antimius propone di studiare separatamente $[0,M]$ e $[M,+oo)$ usando la Heine-Cantor sul primo e la lipschitzianità sul secondo, Gugo invece propone di sfruttare la disuguaglianza $|sqrt(x)-sqrt(y)|<=sqrt(|x-y|)$ che vale su tutto l'intervallo $[0,+oo)$ per provare l'uniforme continuità con $delta=sqrt(epsilon)$ (e non $delta=epsilon^2$, come avevo erroneamente scritto).

A questo punto provo a studiare l'uniforme continuità di $f(x)=sin(1/x)$ nell'intervallo $(0,+oo)$ per provare, al contrario dell'esempio precedente, che in questo caso l'uniforme continuità non c'è.
Divido il problema nei due casi $(0,M]$ e $[M,+oo)$.
Ho che $f'(x)=-cos(1/x)/x^2$ ed essendo $|f'(x)|<=1/M^2$ $AAx\in[M,+oo)$ ho la lipschizianità e dunque l'uniforme continuità in $[M,+oo)$ con $delta=M^2epsilon$.
Riguardo l'intervallo $(0,M]$ però non dovremmo riuscire a provare l'uniforme continuità in quanto ad esempio $AAdelta>0$ $EEx,y\in(0,delta)$ tali che $|sin(1/x)-sin(1/y)|>$...ma come posso provare in maniera più rigorosa questo fatto che adesso sto vedendo "ad occhio"?

[Antimius]

Puoi trovare due successioni $x_n$ e $y_n$ tali che $|x_n - y_n| \to 0$ ma $|f(x_n) - f(y_n)| \to l \ne 0$.
Ad esempio, $x_n=\frac{1}{2\pi n+ \pi/2}$ e $y_n=\frac{1}{2\pi n}$. Lascio a te completare i dettagli e, se vuoi, dire perché quella condizione nega l'uniforme continuità.

[thedarkhero]

Beh scegliamo $epsilon=l/2$ e ci chiediamo se esiste $delta>0$ tale che $|x-y|<=delta$ implica $|f(x)-f(y)|<=epsilon$.
Sappiamo che $|x_n-y_n|<=delta$ da un certo $n$ in poi (per definizione di limite) ma che $|f(x_n)-f(y_n)|>=l/2=epsilon$ da un certo $n$ in poi, sempre per definizione di limite. Dunque l'uniforme continuità non c'è, giusto?

[Antimius]

Giusto

[gugo82]

In generale, se una funzione è u.c. su un aperto \(X\), essa si può sempre prolungare con continuità sulla frontiera \(\partial X\) e, perciò, essa si può estendere con continuità a tutta la chiusura \(\overline{X}\).

Per dimostrare ciò, scegliamo \(\xi\in \partial X\) ed una successione \((x_n)\subseteq X\) convergente ad \(\xi\).
Per uniforme continuità, fissato \(\varepsilon >0\) esiste un \(\delta=\delta (\varepsilon)>0\) tale che per ogni \(x,x^\prime \in X\) con \(|x-x^\prime|\leq \delta\) risulti \(|f(x)-f(x^\prime)|\leq \varepsilon\). D'altra parte, nelle ipotesi poste, \((x_n)\) è di Cauchy perciò in corrispondenza di \(\delta (\varepsilon)\) si può determinare \(\nu =\nu(\delta (\varepsilon))=\nu (\varepsilon)\) in modo che per \(n\geq \nu\) si abbia:
\[
|x_{n+p} -x_n|\leq \delta
\]
per ogni \(p\in \mathbb{N}\); dalla u.c. segue che per \(n\geq \nu\) si ha pure:
\[
|f(x_{n+p})-f(x_n)|\leq \varepsilon
\]
per ogni \(p\in \mathbb{N}\), cosicché la successione \((f(x_n))\) è una successione di Cauchy.
Per completezza, esiste certamente \(l\in \mathbb{R}\) tale che \(\lim_n f(x_n) =l\), perciò saremmo tentati di estendere \(f\) con continuità su \(\xi\) ponendo per definizione \(f(\xi)=l\)... Ma dobbiamo essere sicuri di poter fare questa assegnazione senza creare ambiguità.
Infatti, il valore di \(l\) dipende (per costruzione) dalla scelta della successione \((x_n)\) approssimante \(\xi\) e ciò importa che in corrispondenza di una seconda successione approssimante \((x_n^\prime)\) potremmo trovare:
\[
\lim_n f(x_n^\prime) = l^\prime \neq l =\lim_n f(x_n)\; ,
\]
cosicché potremmo perdere la possibilità di estendere \(f\) su \(\xi\) conservando la continuità.
Per fugare ogni dubbio, allora, prendiamo due successioni \((x_n), (x_n^\prime)\subseteq X\) tali che \(x_n,x_n^\prime\to \xi\) e mostriamo che \(l^\prime =l\).
Abbiamo:
\[
|l-l^\prime| \leq |l-f(x_n)| + |f(x_n)-f(x_n^\prime)| + |f(x_n^\prime) - l^\prime |\; ;
\]
visto che \(f(x_n)\to l\) ed \(f(x_n^\prime)\to l^\prime\), in corrispondenza di \(\varepsilon/3\) esiste un \(\lambda =\lambda (\varepsilon)\) tale che per ogni \(n\geq \lambda\) si abbia \(|l-f(x_n)|, |f(x_n^\prime) - l^\prime |\leq \varepsilon/3\); per u. c., esiste \(\delta>0\) in modo che \(|x-x^\prime|<\delta\) implica \(|f(x)-f(x^\prime)|\leq \varepsilon/3 \) ed in corrispondenza di tale \(\delta\), poiché entrambe le successioni \((x_n)\) ed \((x_n^\prime)\) convergono a \(\xi\), esiste un indice soglia \(\mu= \mu (\varepsilon)\) tale che \(|x_n-x_n^\prime|\leq |x_n-x|+|x-x_n^\prime|\leq \delta\), pertanto per \(n\geq \mu\) si ha \(|f(x_n)-f(x_n^\prime)|\leq \varepsilon /3\); fissando \(n=\max \{\lambda ,\mu\}\), si trova:
\[
|l-l^\prime| \leq |l-f(x_\nu)| + |f(x_\nu)-f(x_\nu^\prime)| + |f(x_\nu^\prime) - l^\prime | \leq \varepsilon\; ;
\]
l'arbitrarietà nella scelta di \(\varepsilon\) importa \(l=l^\prime\).

Conseguentemente, ponendo:
\[
f^*(x) := \begin{cases} f(x) &\text{, se } x\in X\\ \lim_n f(x_n)&\text{, se } x\in \partial X \text{ ed } x_n\to x \text{ da dentro } X\end{cases}
\]
si definisce su \(\overline{X}\) una funzione che estende \(f\) ed è continua su tutto \(\overline{X}\).

Alla luce di ciò, è evidente che la \(f(x) := \sin \frac{1}{x}\) non può essere continua su \(]0,\infty[\).
Infatti, se per assurdo lo fosse, essa si potrebbe prolungare con continuità su \([0,\infty[\), il che è in palese contraddizione col fatto che il \(\lim_{x\to 0} \sin \frac{1}{x}\) non esiste.

[thedarkhero]

Grazie, effettivamente questa via mi piace anche di più...mi risparmia di dovermi trovare le due successioni che ha ricavato Antimius