Unicità soluzione PdC
Ho una funzione $f:RR->RR$ continua e tale che $f(0)=0$ e $f(t)>0$ se $t!=0$.
So inoltre che $\int_0^1 1/f(t)dt=oo$.
Queste informazioni mi bastano per concludere che il problema di Cauchy $\{(y'=f(y)),(y(0)=0):}$ ammette una soluzione unica (che deve dunque essere $y=0$ in quanto essa risolve il problema di Cauchy)?
So inoltre che $\int_0^1 1/f(t)dt=oo$.
Queste informazioni mi bastano per concludere che il problema di Cauchy $\{(y'=f(y)),(y(0)=0):}$ ammette una soluzione unica (che deve dunque essere $y=0$ in quanto essa risolve il problema di Cauchy)?
Risposte
Provo...
Supponiamo che non sia così e che esista una soluzione non nulla della EDO con \(y(0)=0\).
Chiaramente, dato che \(f(y)>0 \) per \(y\neq 0\), tale soluzione è crescente a sinistra ed a destra di \(0\); perciò è \(y(x)<0\) [risp. \(y(x)>0\)] per \(x<0\) [risp. \(x>0\)].
Ora, scelto \(\xi\in ]0,1[\), si ha \(y(x)>0\) in \([\xi ,1]\) e dunque \(f(y(x))>0\) in tale intervallo; ma dividendo m.a.m. per \(f(y(x))\) ed integrando si trova:
\[
\int_\xi^1 \frac{y^\prime (x)}{f(y(x))}\ \text{d} x = \int_\xi^1\text{d} x
\]
ossia:
\[
\int_{y(\xi)}^{y(1)} \frac{1}{f(t)}\ \text{d} t = 1-\xi\; .
\]
Passando al limite per \(\xi \to 0^+\), si ha \(y(\xi)\to 0^+\) e perciò dovrebbe essere:
\[
1=\lim_{y\to 0} \int_{y}^{y(1)} \frac{1}{f(t)}\ \text{d} t = \int_0^{y(1)} \frac{1}{f(t)}\ \text{d} t=\infty
\]
il che è assurdo.
Supponiamo che non sia così e che esista una soluzione non nulla della EDO con \(y(0)=0\).
Chiaramente, dato che \(f(y)>0 \) per \(y\neq 0\), tale soluzione è crescente a sinistra ed a destra di \(0\); perciò è \(y(x)<0\) [risp. \(y(x)>0\)] per \(x<0\) [risp. \(x>0\)].
Ora, scelto \(\xi\in ]0,1[\), si ha \(y(x)>0\) in \([\xi ,1]\) e dunque \(f(y(x))>0\) in tale intervallo; ma dividendo m.a.m. per \(f(y(x))\) ed integrando si trova:
\[
\int_\xi^1 \frac{y^\prime (x)}{f(y(x))}\ \text{d} x = \int_\xi^1\text{d} x
\]
ossia:
\[
\int_{y(\xi)}^{y(1)} \frac{1}{f(t)}\ \text{d} t = 1-\xi\; .
\]
Passando al limite per \(\xi \to 0^+\), si ha \(y(\xi)\to 0^+\) e perciò dovrebbe essere:
\[
1=\lim_{y\to 0} \int_{y}^{y(1)} \frac{1}{f(t)}\ \text{d} t = \int_0^{y(1)} \frac{1}{f(t)}\ \text{d} t=\infty
\]
il che è assurdo.
Grazie Gugo! 
Ho un solo dubbio sull'ultimo passaggio...
Se fosse $y(1)=1$ nessun problema ma nel nostro caso, non conoscendo il valore di $y(1)$, come facciamo a dire che quell'integrale vale $oo$?
Ho un solo dubbio sull'ultimo passaggio...
Se fosse $y(1)=1$ nessun problema ma nel nostro caso, non conoscendo il valore di $y(1)$, come facciamo a dire che quell'integrale vale $oo$?
Beh, per proprietà additiva:
\[
\int_0^{y(1)} \frac{1}{f(t)}\ \text{d} t = \int_0^1 \frac{1}{f(t)}\ \text{d} t - \int_{y(1)}^1 \frac{1}{f(t)}\ \text{d} t=+\infty
\]
con l'integrale \(\int_{y(1)}^1 \frac{1}{f(t)}\ \text{d} t\) finito (perché \(1/f\) è continua fuori da \(0\)), no?
\[
\int_0^{y(1)} \frac{1}{f(t)}\ \text{d} t = \int_0^1 \frac{1}{f(t)}\ \text{d} t - \int_{y(1)}^1 \frac{1}{f(t)}\ \text{d} t=+\infty
\]
con l'integrale \(\int_{y(1)}^1 \frac{1}{f(t)}\ \text{d} t\) finito (perché \(1/f\) è continua fuori da \(0\)), no?
Ah già giusto! Tutto chiaro!
Grazie ancora
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