Unicità per l'equazione di Poisson 3d
Supponiamo di avere, nello spazio fisico, una distribuzione di carica [tex]\rho=\rho(x, y, z)[/tex] localizzata in una regione limitata. Sul libro di elettromagnetismo l'autore conclude immediatamente che "come conseguenza del principio di sovrapposizione, il potenziale generato da tale distribuzione è
[tex]$\varphi(\mathbf{x})=\iiint \frac{\rho(\mathbf{y}) dV}{4\pi \epsilon_0 \lvert \mathbf{x}-\mathbf{y}\rvert^2}[/tex] (1)."
Volendo tradurre in termini formali, si sta dicendo che, se [tex]\rho\in C(\mathbb{R}^3)[/tex] e ha supporto compatto, l'equazione di Poisson [tex]-\Delta \varphi=\frac{\rho}{\epsilon_0}[/tex] ha una e una sola soluzione - chiaramente, a patto di prescrivere opportune condizioni su questa soluzione. Allora:
[list=1][*:30njyphe]Quali sono queste condizioni? Io direi che è sufficiente richiedere [tex]\varphi(\mathbf{x}) = O(\lvert \mathbf{x}\rvert^{-1})[/tex] per [tex]\lvert \mathbf{x} \rvert \to +\infty[/tex], condizione che ci viene dall'interpretazione fisica del problema: un potenziale elettrostatico decade linearmente, quando si è sufficientemente lontani dalle sorgenti.
[/*:m:30njyphe]
[*:30njyphe]Una volta individuate queste condizioni, come si può arrivare ad un teorema di esistenza e unicità della soluzione? Detta
[tex]$\Phi(\mathbf{x})=\frac{1}{4\pi \epsilon_0 \lvert \mathbf{x} \rvert^2}[/tex],
la funzione [tex]\varphi=\Phi \star \rho[/tex] è esattamente la stessa della (1), ed è pacifico che si tratta di una soluzione del problema. Perché essa è unica?[/*:m:30njyphe][/list:o:30njyphe]
[tex]$\varphi(\mathbf{x})=\iiint \frac{\rho(\mathbf{y}) dV}{4\pi \epsilon_0 \lvert \mathbf{x}-\mathbf{y}\rvert^2}[/tex] (1)."
Volendo tradurre in termini formali, si sta dicendo che, se [tex]\rho\in C(\mathbb{R}^3)[/tex] e ha supporto compatto, l'equazione di Poisson [tex]-\Delta \varphi=\frac{\rho}{\epsilon_0}[/tex] ha una e una sola soluzione - chiaramente, a patto di prescrivere opportune condizioni su questa soluzione. Allora:
[list=1][*:30njyphe]Quali sono queste condizioni? Io direi che è sufficiente richiedere [tex]\varphi(\mathbf{x}) = O(\lvert \mathbf{x}\rvert^{-1})[/tex] per [tex]\lvert \mathbf{x} \rvert \to +\infty[/tex], condizione che ci viene dall'interpretazione fisica del problema: un potenziale elettrostatico decade linearmente, quando si è sufficientemente lontani dalle sorgenti.
[/*:m:30njyphe]
[*:30njyphe]Una volta individuate queste condizioni, come si può arrivare ad un teorema di esistenza e unicità della soluzione? Detta
[tex]$\Phi(\mathbf{x})=\frac{1}{4\pi \epsilon_0 \lvert \mathbf{x} \rvert^2}[/tex],
la funzione [tex]\varphi=\Phi \star \rho[/tex] è esattamente la stessa della (1), ed è pacifico che si tratta di una soluzione del problema. Perché essa è unica?[/*:m:30njyphe][/list:o:30njyphe]
Risposte
Stavo ripensando un po' a questa faccenda. Mi sono convinto che sia vero quanto segue.
Proposizione Sia $phi: RR^n \to RR$ una funzione armonica. Se $lim_{|x|\to \infty} phi(x)=0$ allora $phi equiv 0$.
Immagino che la dimostrazione debba passare dall'integrale dell'energia $int_{RR^n} |nabla phi(x)|^2dx$: ho idea che le ipotesi date forzino $int_{RR^n}|nabla phi(x)|^2dx=0$. Che ne dite?
Proposizione Sia $phi: RR^n \to RR$ una funzione armonica. Se $lim_{|x|\to \infty} phi(x)=0$ allora $phi equiv 0$.
Immagino che la dimostrazione debba passare dall'integrale dell'energia $int_{RR^n} |nabla phi(x)|^2dx$: ho idea che le ipotesi date forzino $int_{RR^n}|nabla phi(x)|^2dx=0$. Che ne dite?
Ah no, che fesso, era facile usando il principio del massimo. Sia $\phi$ armonica in $RR^n$ e infinitesima all'infinito. Fissiamo $epsilon>0$. Allora, per ogni $r>0$ sufficientemente grande abbiamo che
$-epsilon le min_{|x|=r}phi(x)\le max_{|x|=r}phi(x) le epsilon$
e per il principio di massimo
$\-epsilon le min_{|x|le r} phi(x) \le \max_{|x|le r} phi(x) \le epsilon$
dovendo questo valere per ogni $r$ sufficientemente grande, concludiamo che
$|phi(x)|le epsilon$
per ogni $x \in RR^n$. Dall'arbitrarietà di $epsilon$ segue che $phi equiv 0$ ovunque.
$-epsilon le min_{|x|=r}phi(x)\le max_{|x|=r}phi(x) le epsilon$
e per il principio di massimo
$\-epsilon le min_{|x|le r} phi(x) \le \max_{|x|le r} phi(x) \le epsilon$
dovendo questo valere per ogni $r$ sufficientemente grande, concludiamo che
$|phi(x)|le epsilon$
per ogni $x \in RR^n$. Dall'arbitrarietà di $epsilon$ segue che $phi equiv 0$ ovunque.
Se la relazione di limite vale uniformemente rispetto ai raggi, direi che è semplice.
Una funzione armonica in tutto [tex]$\mathbb{R}^N$[/tex] ha la proprietà di media sulle sfere, cioè:
[tex]$\phi (x)=\frac{1}{N\omega_N r^N}\ \int_{\partial B(x;r)} \phi\ \text{d}\sigma$[/tex];
l'ipotesi [tex]$\lim_{|y|\to +\infty} \phi (y)=0$[/tex] uniformemente rispetto alla direzione di [tex]$y$[/tex], allora per ogni [tex]$\varepsilon >0$[/tex] esiste un [tex]$\rho>0$[/tex] tale che [tex]$|\phi(y)|<\varepsilon$[/tex] per [tex]$|y|>\rho$[/tex]; ma allora:
[tex]$|\phi (x)|\leq \frac{1}{N\omega_N (\rho +1)^N}\ \int_{\partial B(x;\rho +1)} |\phi|\ \text{d}\sigma <\varepsilon$[/tex]
e, data l'arbitrarietà di [tex]$\varepsilon$[/tex], ciò importa [tex]$\phi (x)=0$[/tex]; per concludere basta invocare l'arbitrarietà nella scelta di [tex]$x$[/tex].
Una funzione armonica in tutto [tex]$\mathbb{R}^N$[/tex] ha la proprietà di media sulle sfere, cioè:
[tex]$\phi (x)=\frac{1}{N\omega_N r^N}\ \int_{\partial B(x;r)} \phi\ \text{d}\sigma$[/tex];
l'ipotesi [tex]$\lim_{|y|\to +\infty} \phi (y)=0$[/tex] uniformemente rispetto alla direzione di [tex]$y$[/tex], allora per ogni [tex]$\varepsilon >0$[/tex] esiste un [tex]$\rho>0$[/tex] tale che [tex]$|\phi(y)|<\varepsilon$[/tex] per [tex]$|y|>\rho$[/tex]; ma allora:
[tex]$|\phi (x)|\leq \frac{1}{N\omega_N (\rho +1)^N}\ \int_{\partial B(x;\rho +1)} |\phi|\ \text{d}\sigma <\varepsilon$[/tex]
e, data l'arbitrarietà di [tex]$\varepsilon$[/tex], ciò importa [tex]$\phi (x)=0$[/tex]; per concludere basta invocare l'arbitrarietà nella scelta di [tex]$x$[/tex].
E si, si può fare anche così. Che poi, in fondo le due cose sono la stessa visto che la proprietà di media sulle sfere e il principio di massimo sono parenti stretti (anzi mi sa che sono proprio equivalenti...). Il discorso sull'uniformità effettivamente hai fatto bene a sottolinearlo: quando si scrive
$lim_{|x| \to \infty} phi(x)=0$
si intende che
$forall epsilon > 0 exists R >0\ "t.c."\ forall x \in RR^n, |x|>R\ "si ha che"\ |phi(x)|le epsilon.$
(a scanso di equivoci verso eventuali lettori).
Nel caso fisico la condizione data è $|phi(x)| = O( |x|^{-1})$, il che implica ampiamente l'uniformità richiesta.
$lim_{|x| \to \infty} phi(x)=0$
si intende che
$forall epsilon > 0 exists R >0\ "t.c."\ forall x \in RR^n, |x|>R\ "si ha che"\ |phi(x)|le epsilon.$
(a scanso di equivoci verso eventuali lettori).
Nel caso fisico la condizione data è $|phi(x)| = O( |x|^{-1})$, il che implica ampiamente l'uniformità richiesta.
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