Unicità limite debole in uno spazio normato
Buonasera a tutti 
. Mi scuso, studiando gli spazi normati e la convergenza debole, è presente un piccolo teorema che afferma che l'unicità del limite debole.. La dimostrazione inizia affermando che non possono esistere due limiti diversi x, y in quanto esiste una funzione appartenente allo spazio duale tale che f(x) è diversa da f(y). E la dimostrazione termina così 
. C'entra qualcosa la definzione di spazio duale che separa i punti dello spazio normato in esame? :/ Non capisco la conclusione della dimostrazione :/ . Potrei avere un aiuto? Grazie, grazie, grazie, grazie, grazie ^_^
. Mi scuso, studiando gli spazi normati e la convergenza debole, è presente un piccolo teorema che afferma che l'unicità del limite debole.. La dimostrazione inizia affermando che non possono esistere due limiti diversi x, y in quanto esiste una funzione appartenente allo spazio duale tale che f(x) è diversa da f(y). E la dimostrazione termina così . C'entra qualcosa la definzione di spazio duale che separa i punti dello spazio normato in esame? :/ Non capisco la conclusione della dimostrazione :/ . Potrei avere un aiuto? Grazie, grazie, grazie, grazie, grazie ^_^
Risposte
Il fatto che, dati due punti distinti $x$, $y$ in uno spazio normato $X$, esista un funzionale lineare $f\in X^{\ast}$ tale che $f(x) Nella topologia debole di $X$, $f^{-1}(-\infty,\frac{f(x)+f(y)}{2})$ è un intorno di $x$ e $f^{-1}(\frac{f(x)+f(y)}{2},+\infty)$ è un intorno di $y$; sono disgiunti, quindi la topologia debole è di Hausdorff e vale l'unicità del limite.
Nella topologia debole di $X$, $f^{-1}(-\infty,\frac{f(x)+f(y)}{2})$ è un intorno di $x$ e $f^{-1}(\frac{f(x)+f(y)}{2},+\infty)$ è un intorno di $y$; sono disgiunti, quindi la topologia debole è di Hausdorff e vale l'unicità del limite.
Buonasera . Grazie grazie grazie mille per la gentilissima risposta . Però purtroppo nel "contesto" della dimostrazione sopra scritta penso che il prof non chiederà l'uso di quelle controimmagini tramite f nè la topologia di Hausdorff . Non si può usare quindi il concetto che il duale di X separa i punti di X? Ancora grazie grazie tantissime
. Grazie grazie grazie mille per la gentilissima risposta . Però purtroppo nel "contesto" della dimostrazione sopra scritta penso che il prof non chiederà l'uso di quelle controimmagini tramite f nè la topologia di Hausdorff . Non si può usare quindi il concetto che il duale di X separa i punti di X? Ancora grazie grazie tantissime
Ma gira e volta è sempre la stessa cosa. Il fatto che il limite debole sia unico è conseguenza della proprietà dello spazio duale di separare i punti, cioè, che se \(x\ne y\) sono elementi di \(X\) allora esiste un funzionale lineare \(f\) tale che \(f(x)\ne f(y)\). Perciò se uno ha una successione \(x_n\) che converge debolmente sia ad \(x\) sia ad \(y\) allora deve necessariamente essere \(x=y\), perché se così non fosse uno avrebbe
\[
f(x_n)\to f(x) =f(y) \leftarrow f(x_n).\]
Uno può andare un poco oltre e definire su \(X\) una topologia, detta "topologia debole", tale che la nozione di convergenza ad essa associata sia precisamente la convergenza debole. Un argomento sostanzialmente identico a quello di sopra mostra che questa topologia è di Hausdorff come conseguenza della proprietà dello spazio duale di separare i punti. A questo punto, l'unicità del limite debole diventa una conseguenza del fatto generale di unicità del limite in uno spazio topologico di Hausdorff.
\[
f(x_n)\to f(x) =f(y) \leftarrow f(x_n).\]
Uno può andare un poco oltre e definire su \(X\) una topologia, detta "topologia debole", tale che la nozione di convergenza ad essa associata sia precisamente la convergenza debole. Un argomento sostanzialmente identico a quello di sopra mostra che questa topologia è di Hausdorff come conseguenza della proprietà dello spazio duale di separare i punti. A questo punto, l'unicità del limite debole diventa una conseguenza del fatto generale di unicità del limite in uno spazio topologico di Hausdorff.
Grazie grazie tantissime ^_^. Mi scusi, vale sempre in generale che qualsiasi spazio duale di uno spazio X normato separa X, giusto ^_^?
Non c'è bisogno né di dare del lei né di prodigarsi in grazie e scusi. 
Il fatto che dici è una cosa generale di tutti gli spazi normati e deriva dal teorema di Hahn-Banach. La dimostrazione è facile, se \(x\ne y\) allora \(v=x-y\ne 0\) e si può definire un funzionale lineare su \(\{\lambda v\ :\ \lambda \in \mathbb R\}\) mediante
\[
f(\lambda v)=\lambda.\]
Questo funzionale lineare non è nullo ed è tale che \(f(v)=f(x-y)=1\), quindi in particolare \(f(x)=1+f(y)\ne f(y)\).
Finalmente, il teorema di Hahn-Banach dice che esso si può estendere ad un funzionale lineare continuo definito su tutto \(X\).
Il fatto che dici è una cosa generale di tutti gli spazi normati e deriva dal teorema di Hahn-Banach. La dimostrazione è facile, se \(x\ne y\) allora \(v=x-y\ne 0\) e si può definire un funzionale lineare su \(\{\lambda v\ :\ \lambda \in \mathbb R\}\) mediante
\[
f(\lambda v)=\lambda.\]
Questo funzionale lineare non è nullo ed è tale che \(f(v)=f(x-y)=1\), quindi in particolare \(f(x)=1+f(y)\ne f(y)\).
Finalmente, il teorema di Hahn-Banach dice che esso si può estendere ad un funzionale lineare continuo definito su tutto \(X\).
. Non posso non dire ancora tante grazie per la gentilissima disponibilità, cortesia, precisione, competenza ^_^
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