Unicità di una funzione implicita
Ciao, ho questo esercizio:
"sia data $f(x,y)=xy-xlogx-e^(y-1)$.
Provare che essa definisce implicitamente almeno una funzione continua $y=y(x):]0,+\infty[\rightarrow\mathbb{R}$, nonostante ci siano infiniti punti tali che $f(x,y)=f_{y}(x,y)=0$. Essa è unica?"
Intanto ho fatto vedere che tutti i punti $(x,1+logx)$ annullano la funzione e la derivata, e quindi basta considerare $y(x)=1+logx$, continua e tale che $f(x,y(x))=0$ per ogni x positivo. Allora ne ho trovata una.
Ma per l'unicità? Non posso applicare il teorema del Dini, c'è un metodo o un'idea? è da poco che le affronto quindi non sono molto pratico con le funzioni implicite.
Grazie!
"sia data $f(x,y)=xy-xlogx-e^(y-1)$.
Provare che essa definisce implicitamente almeno una funzione continua $y=y(x):]0,+\infty[\rightarrow\mathbb{R}$, nonostante ci siano infiniti punti tali che $f(x,y)=f_{y}(x,y)=0$. Essa è unica?"
Intanto ho fatto vedere che tutti i punti $(x,1+logx)$ annullano la funzione e la derivata, e quindi basta considerare $y(x)=1+logx$, continua e tale che $f(x,y(x))=0$ per ogni x positivo. Allora ne ho trovata una.
Ma per l'unicità? Non posso applicare il teorema del Dini, c'è un metodo o un'idea? è da poco che le affronto quindi non sono molto pratico con le funzioni implicite.
Grazie!
Risposte
Come hai trovato quella funzione \(y(x)=1+\log(x)\)?
Imponendo che la derivata parziale sia zero (il testo in realtà chiedeva di verificarlo) si ricava $x-e^(y-1)=0$, poi vedo che in effetti questi punti annullano pure la $f$, e perciò il luogo dei punti per cui $f(x,y)=0$ coincide col grafico della $y(x)=1+log(x)$, anche se non si può applicare Dini. Almeno io l'ho intesa così.
Ragiona così. Fissa \(x>0\) e considera la funzione
\[
g(y):=f(x,y),\qquad y\in\mathbb R.\]
Quanti zeri ha \(g\)? Se ne ha uno solo, vuol dire che c'è solo una funzione definita implicitamente, che necessariamente dovrà essere quella che hai trovato tu.
\[
g(y):=f(x,y),\qquad y\in\mathbb R.\]
Quanti zeri ha \(g\)? Se ne ha uno solo, vuol dire che c'è solo una funzione definita implicitamente, che necessariamente dovrà essere quella che hai trovato tu.
Abbiamo $g'(y)=x-e^(y-1)>0 $ sse $y<1+logx$, siccome in questo punto la g la vale zero a priori abbiamo che è l'unico in cui si annulla per il fatto che è max relativo (e assoluto in quanto è l'unico) e altrove quindi $g(y)\ne0$, perciò per ogni x c'è un solo zero. Questo ha senso usando Weierstrass combinato al fatto che il limite per $y\rightarrow +\infty$ della g è $-\infty$ e viceversa. Giusto?
Se invece avessimo trovato più zeri per ogni x? Avremmo avuto due funzioni? O infinite?
Se invece avessimo trovato più zeri per ogni x? Avremmo avuto due funzioni? O infinite?
Io non devo aggiungere più niente, hai già fatto tutto e puoi rispondere da solo a tutte le tue domande. Ricordati che "funzione implicita \(y=y(x)\)" significa "soluzione dell'equazione \(f(x, y)=0\) per \(x\) fissata". Tu qui hai appena dimostrato che per ogni \(x\) fissata c'è una sola soluzione di \(f(x, y)=0\)...
Ho capito il perché è unica, ti ringrazio molto. Se avessimo trovato due zeri per ogni x ce ne sarebbero state due continue (mandando ogni x nel corrispondente zero).
Invece già che ci sono vorrei chiedere un parere su quest'altro esercizio, molto simile devo dire.
"Sia $f(x,y)=y(|x|+y^2-1)+sinh(x+y)-x$ e si noti che in $(0,0)$ la funzione e le due derivate si annullano. Provare che tuttavia in un intorno dell'origine è definita implicitamente da f=0 una funzione continua della x, trovandone il più grande intervallo di definizione, dicendo se è unica e in tal caso trovarne il segno".
Ancora il Dini non si può subito usare, però vedo che $f_{y}(x,y)\geq0$ e pertanto procedendo come hai detto tu e come prima (fisso x e considero la g e così via) costruisco per ogni x uno zero e ciò definisce la funzione $y(x)$ in tutto $\mathbb{R}$.
L'unicità è garantita dalla monotonia.
Per il segno invece osservo che per definizione $f(x,y(x))=|x|y(x)+y(x)^3+sinh(x+y(x))-(x+y(x))=0$, osservando che $sinh(t)\geqt, t\leq0$ e $sinh(t)\leq t, t<0$ trovo che se x>0 affinché quello faccia zero deve essere $y(x)<0$ e viceversa
Corretto?
Invece già che ci sono vorrei chiedere un parere su quest'altro esercizio, molto simile devo dire.
"Sia $f(x,y)=y(|x|+y^2-1)+sinh(x+y)-x$ e si noti che in $(0,0)$ la funzione e le due derivate si annullano. Provare che tuttavia in un intorno dell'origine è definita implicitamente da f=0 una funzione continua della x, trovandone il più grande intervallo di definizione, dicendo se è unica e in tal caso trovarne il segno".
Ancora il Dini non si può subito usare, però vedo che $f_{y}(x,y)\geq0$ e pertanto procedendo come hai detto tu e come prima (fisso x e considero la g e così via) costruisco per ogni x uno zero e ciò definisce la funzione $y(x)$ in tutto $\mathbb{R}$.
L'unicità è garantita dalla monotonia.
Per il segno invece osservo che per definizione $f(x,y(x))=|x|y(x)+y(x)^3+sinh(x+y(x))-(x+y(x))=0$, osservando che $sinh(t)\geqt, t\leq0$ e $sinh(t)\leq t, t<0$ trovo che se x>0 affinché quello faccia zero deve essere $y(x)<0$ e viceversa
Corretto?
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