Unicità di \( 0 \) come punto di accumulazione per la successione degli \( 1/n \)

[marco2132k]

Ciao. Sia \( B=\left\{1/n\right\}_{n\in\mathbb{N}} \) l'immagine della successione degli \( 1/n \), per \( n \) naturale. Devo provare che \( 0 \) è l'unico punto di accumulazione per \( B \). Non mi piace la dimostrazione che do, che è la seguente.

Sia \( x>0 \); si definisca allora per ogni \( n\in\mathbb{N} \) il raggio \( r \) come il minimo tra \( x-1/(n+1) \) e \( 1/n-x \), in modo che assunto un elemento \( 1/n \) nella palla \( B_r(x) \) si arrivi a constatare che

[list=2]
[*:kkl7i3yp] se \( x \) è più vicino a \( 1/(n+1) \) allora vige
\[ \left\lvert\frac{1}{n}-x\right\rvert [/*:m:kkl7i3yp]
[*:kkl7i3yp] se invece \( 1/n\leqq 1/(n+1) \) si ha
\[ \left\lvert\frac{1}{n}-x\right\rvert<\frac{1}{n}-x\leqq x-\frac{1}{n+1} \][/*:m:kkl7i3yp][/list:o:kkl7i3yp]

ottenendo in entrambi i casi un assurdo. Pertanto nessun \( x \) maggiore di zero è un punto di accumulazione. Tralascio il caso di \( x \) negativo. \( \square \)

C'è un modo per renderla più diretta senza dividere per casi?

Io direi di sì (guardando in giro però ): non mi serve evidentemente dare esplicitamente la palla \( B_r(x) \), scegliendo in modo adeguato il minimo. D'accordo che una palla del genere esiste, mi rimane però il problema di provare che essa non ha alcun punto in comune con la successione.

Sia \( B(x) \) tale palla, e si assuma un \( 1/n\in B(x) \): abbiamo \( \lvert 1/n-x\rvert

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Risposte

anto_zoolander

2 mag 2019, 22:05

Ciao!

Vedi se così ti piace

Sia $x$ punto di accumulazione della successione, allora ammetterebbe una sottosuccessione che gli converge.
Poiché la successione converge interamente a $0$ allora ogni sua sottosuccessione converge a $0$ dunque $x=0$

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gugo82

3 mag 2019, 12:10

Senza nemmeno scomodare le sottosuccessioni...

Dato che $1/n -> 0$, fissato $x != 0$, in corrispondenza di $bar(epsilon) := 1/2 |x|>0$ esiste un indice $nu$ al partire dal quale in poi risulta:
\[
\frac{1}{n} < \bar{\varepsilon}
\]
dunque (per disuguaglianza triangolare inversa):
\[
\left| x - \frac{1}{n}\right| \geq |x| - \frac{1}{n} > \underbrace{|x|}_{= 2 \bar{\varepsilon}} - \bar{\varepsilon} > \bar{\varepsilon}
\]
per ogni $n >= nu$ e perciò nell'intorno $]x - bar(epsilon), x + bar(epsilon)[$ cadono al più un numero finito di punti di $(1/n)_(n in NN)$.

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marco2132k

5 mag 2019, 10:12

Scusate il ritardo nella risposta. Grazie ad entrambi.

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[anto_zoolander]

Ciao!

Vedi se così ti piace

Sia $x$ punto di accumulazione della successione, allora ammetterebbe una sottosuccessione che gli converge.
Poiché la successione converge interamente a $0$ allora ogni sua sottosuccessione converge a $0$ dunque $x=0$

[gugo82]

Senza nemmeno scomodare le sottosuccessioni...

Dato che $1/n -> 0$, fissato $x != 0$, in corrispondenza di $bar(epsilon) := 1/2 |x|>0$ esiste un indice $nu$ al partire dal quale in poi risulta:
\[
\frac{1}{n} < \bar{\varepsilon}
\]
dunque (per disuguaglianza triangolare inversa):
\[
\left| x - \frac{1}{n}\right| \geq |x| - \frac{1}{n} > \underbrace{|x|}_{= 2 \bar{\varepsilon}} - \bar{\varepsilon} > \bar{\varepsilon}
\]
per ogni $n >= nu$ e perciò nell'intorno $]x - bar(epsilon), x + bar(epsilon)[$ cadono al più un numero finito di punti di $(1/n)_(n in NN)$.

[marco2132k]

Scusate il ritardo nella risposta. Grazie ad entrambi.