Unicità della soluzione di un problema di Cauchy

[maxein-votailprof]

Buon pomeriggio a tutti.Ho questo esercizio da risolvere:
Risolvere il seguente problema di Cauchy
$y'=sin(x+y)$ con $y(-pi/2)=0$
discutendo l'unicità della soluzione

Io l'ho risolto considerando l'equazione differenziale come una equazione di tipo omogeneo generalizzato.
Ponendo
$x+y=z$
ottengo la seguente equazione a varibiali separabili
$z'=1+sinz$
Risolvendo il problema di Cauchy ottengo come soluzione
$y(x)=2arctan((-2x-pi)/(2x-4-pi))-x$
Per discutere l'unicità della soluzione,dovrei fare vedere che è Lipschitziana?Considerando la derivata parziale di $sin(x+y)$ rispetto a $y$,essa risulta uguale a $cos(x+y)$ e quindi limitata e quindi la funzione è Lipschitziana e quindi esiste una sola soluzione al problema di Cauchy.E' giusto il mio ragionamento?

[Fioravante Patrone1]

"maxein":
Per discutere l'unicità della soluzione,dovrei fare vedere che è Lipschitziana?Considerando la derivata parziale di $sin(x+y)$ rispetto a $y$,essa risulta uguale a $cos(x+y)$ e quindi limitata e quindi la funzione è Lipschitziana e quindi esiste una sola soluzione al problema di Cauchy.E' giusto il mio ragionamento?

sì

Ta l'altro, hai anche la soluzione "in grande". Ovvero, la soluzione massimale è definita su tutto $RR$, vista la lipschitzianità globale della funzione a secondo membro.

[maxein-votailprof]

Grazie mille

[gugo82]

Controlla un po' la soluzione... non mi pare verifichi la condizione iniziale $y(-pi/2)=0$.

[maxein-votailprof]

"Gugo82":Controlla un po' la soluzione... non mi pare verifichi la condizione iniziale $y(-pi/2)=0$.

...e si credo che hai ragione...rifarò nuovamente i calcoli