Unicitá del limite
Salve, stavo studiando questo teorema ma ho fatto ahimé una gran confusione negli appunti che avevo preso. In pratica ho studiato la dimostrazione che si fa applicando la definizione di limite. il mio prof l'ha dimostrato con gli intorni, però non capisco: questa dimostrazione é la stessa sia per i limiti di successione che di funzione?
Risposte
Con gli intorni.
successioni
$a_n to p text{ se } AA U text{ intorno di p } \exists N text{ t.c. } n>N => a_n in U$
funzioni
$lim_{x to x_0} f(x) = p text{ se } AA U text{ intorno di p } \exists V text{ intorno di } x_0 text{ t.c. } f(V) \sube U$
Se $q$ è un altro limite, allora:
$a_n$ (o $f(V)$ nel caso delle funzioni) dovrebbe stare definitivamente sia in U (intorno di p), che in W (intorno di q). E questo per ogni U,W intorni.
Ma se lo spazio è T2 (di haussdorf), posso prendere U e W in modo che $U nnn W = \phi$ e quindi raggiungo un assurdo.
successioni
$a_n to p text{ se } AA U text{ intorno di p } \exists N text{ t.c. } n>N => a_n in U$
funzioni
$lim_{x to x_0} f(x) = p text{ se } AA U text{ intorno di p } \exists V text{ intorno di } x_0 text{ t.c. } f(V) \sube U$
Se $q$ è un altro limite, allora:
$a_n$ (o $f(V)$ nel caso delle funzioni) dovrebbe stare definitivamente sia in U (intorno di p), che in W (intorno di q). E questo per ogni U,W intorni.
Ma se lo spazio è T2 (di haussdorf), posso prendere U e W in modo che $U nnn W = \phi$ e quindi raggiungo un assurdo.
Dunque mi pare di capire che, simbologia a parte, si proceda allo stesso modo. Giusto?
Scusami sono un pochino confuso ahah
Scusami sono un pochino confuso ahah
Esatto
Poi puoi parlare di epsilon/delta piuttosto che di intorni. Ma il concetto è quello
Perfetto, grazie 1000 
prego
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