Unicità del differenziale

[thedarkhero]

Definizione di Differenziale:
Sia $AuuRR^n$ un insieme aperto. Una funzione $f:A->RR^m$ si dice differenziabile in un punto $x_0\inA$ se esiste una trasformazione lineare $T:RR^n->RR^m$ tale che $lim_(x->x_0)(f(x)-f(x_0)-T(x-x_0))/|x-x_0|=0$.
Chiamiamo la trasformazione lineare $df(x_0)=T$ il differenziale di $f$ in $x_0$.

Per l'unicità del differenziale si usa il fatto che $Tv=lim_(t->0^+)(f(x_0+tv)-f(x_0))/t$ $AAv\inRR^n$ e l'unicità di $T$ segue dall'unicità del limite.
Ma come si ottiene la relazione $Tv=lim_(t->0^+)(f(x_0+tv)-f(x_0))/t$ $AAv\inRR^n$?

[Rigel1]

Scrivi la definizione di differenziabilità con \(x = x_0+tv\).

[thedarkhero]

$lim_(t->0^+)(f(x_0+tv)-f(x_0)-T(tv))/(t|v|)=0$
quindi
$lim_(t->0^+)(f(x_0+tv)-f(x_0))/(t|v|)=lim_(t->0^+)(T(tv))/(t|v|)=lim_(t->0^+)(tT(v))/(t|v|)=lim_(t->0^+)(T(v))/|v|=(T(v))/|v|$
quindi
$T(v)=lim_(t->0^+)(f(x_0+tv)-f(x_0))/t$ $AAv\inRR^n$.
Corretto?

[Rigel1]

"thedarkhero":$lim_(t->0^+)(f(x_0+tv)-f(x_0)-T(tv))/(t|v|)=0$
quindi
$lim_(t->0^+)(f(x_0+tv)-f(x_0))/(t|v|)=lim_(t->0^+)(T(tv))/(t|v|)=lim_(t->0^+)(tT(v))/(t|v|)=lim_(t->0^+)(T(v))/|v|=(T(v))/|v|$
quindi
$T(v)=lim_(t->0^+)(f(x_0+tv)-f(x_0))/t$ $AAv\inRR^n$.
Corretto?

Insomma...
In generale, se \(\lim [a(t) -b(t)] = 0\), questo non vuol dire che \(\lim a(t) = \lim b(t)\).
In questo caso, però, una delle due funzioni è costante; infatti dalla def. di differenziabilità hai che
\[
\lim_{t\to 0} \left( \frac{f(x_0+tv) - f(x_0)}{t} - Tv\right) = 0,
\]
che equivale a
\[
\lim_{t\to 0} \frac{f(x_0+tv) - f(x_0)}{t} = Tv,
\]

[thedarkhero]

Ok, e hai moltiplicato a destra e a sinistra per $|v|$ usando il fatto che $v!=0$, giusto?

[Rigel1]

Sì, certo.

[thedarkhero]

Grazie!!