Un'equazione trascendente
Dimostrare,senza ricorrere al grafico,che l'equazione:
e^x=ln(x)
non ha radici in R.
(e=base dei log. naturali)
karl.
e^x=ln(x)
non ha radici in R.
(e=base dei log. naturali)
karl.
Risposte
Ci provo...
1° modo: facendo il logaritmo naturale del primo e del secondo membro si ottiene:
x=ln(ln(x))
che non può mai essere verificata. Non so se è corretto...
2° modo: prendo le due funzioni e vedo le intersezioni con gli assi,
in modo tale da conoscere se le due curve si tagliano in qualche punto.
{y=e^x
{y=0
e^x=0, nessuna soluzione
{y=e^x
{x=0
y=1
Quindi la curva di equazione e^x taglia l'asse delle ordinate nel punto (0,1);
non taglia l'asse delle ascisse.
{y=ln(x)
{y=0
ln(x)=0; x=1
{y=ln(x)
{x=0 --> nessuna soluzione
Il punto in cui la curva interseca l'asse x è (1,0) e non taglia l'asse y.
È evidente quindi che tra le due curve non ci sono punti di intersezione
e quindi nessuna soluzione.
Modificato da - fireball il 07/01/2004 17:39:57
1° modo: facendo il logaritmo naturale del primo e del secondo membro si ottiene:
x=ln(ln(x))
che non può mai essere verificata. Non so se è corretto...
2° modo: prendo le due funzioni e vedo le intersezioni con gli assi,
in modo tale da conoscere se le due curve si tagliano in qualche punto.
{y=e^x
{y=0
e^x=0, nessuna soluzione
{y=e^x
{x=0
y=1
Quindi la curva di equazione e^x taglia l'asse delle ordinate nel punto (0,1);
non taglia l'asse delle ascisse.
{y=ln(x)
{y=0
ln(x)=0; x=1
{y=ln(x)
{x=0 --> nessuna soluzione
Il punto in cui la curva interseca l'asse x è (1,0) e non taglia l'asse y.
È evidente quindi che tra le due curve non ci sono punti di intersezione
e quindi nessuna soluzione.
Modificato da - fireball il 07/01/2004 17:39:57
Il 2° metodo va senz'altro bene;il 1° mi pare
di no.Infatti che l'equazione x=ln(ln(x)) non
abbia soluzioni e' sempre da dimostrare(in effetti
e' equivalente alla questione proposta).Questo
secondo me ,si capisce.
Suggerisco un metodo che puo' andar bene anche in
casi piu' difficili.
Consideriamo la funzione:
y=e^x-ln(x) per x>0.
Abbiamo:
lim(y,x-->0+)=+inf;lim(y,x-->+inf)=+inf (di facile verifica).
derivando due volte risulta:
y'=e^x-1/x; y''=e^x+1/x^2;
Come si vede la y''>0 dunque la funzione puo' avere solo un minimo
assoluto e nessun massimo assoluto.
Annullando la derivata prima si ha:
e^x=1/x.Ora per x>1 tale equazione e' impossibile perche' il
primo membro e'>1 mentre il secondo membro e'<1.Invece si puo' avere una soluzione per 00).
Per tale soluzione la funzione ammette un minimo che e' sicuramente
positivo perche' per 00 mentre ln(x)<0 e quindi
e^x-ln(x)>0.
Concludendo la funzione ammette un minimo assoluto >0 e dunque
e^x-ln(x) non puo' annullarsi.
IL metodo,ripeto, puo' apparire lungo ma e' applicabile anche a funzioni piu' complesse di quella data e per le quali non sarebbe cosi' semplice trovare le intersezioni con l'asse x.
karl.
di no.Infatti che l'equazione x=ln(ln(x)) non
abbia soluzioni e' sempre da dimostrare(in effetti
e' equivalente alla questione proposta).Questo
secondo me ,si capisce.
Suggerisco un metodo che puo' andar bene anche in
casi piu' difficili.
Consideriamo la funzione:
y=e^x-ln(x) per x>0.
Abbiamo:
lim(y,x-->0+)=+inf;lim(y,x-->+inf)=+inf (di facile verifica).
derivando due volte risulta:
y'=e^x-1/x; y''=e^x+1/x^2;
Come si vede la y''>0 dunque la funzione puo' avere solo un minimo
assoluto e nessun massimo assoluto.
Annullando la derivata prima si ha:
e^x=1/x.Ora per x>1 tale equazione e' impossibile perche' il
primo membro e'>1 mentre il secondo membro e'<1.Invece si puo' avere una soluzione per 0
Per tale soluzione la funzione ammette un minimo che e' sicuramente
positivo perche' per 0
e^x-ln(x)>0.
Concludendo la funzione ammette un minimo assoluto >0 e dunque
e^x-ln(x) non puo' annullarsi.
IL metodo,ripeto, puo' apparire lungo ma e' applicabile anche a funzioni piu' complesse di quella data e per le quali non sarebbe cosi' semplice trovare le intersezioni con l'asse x.
karl.
Karl, io purtroppo ancora non ho studiato Analisi Matematica, quindi mi sono dovuto attenere a quelle poche conoscenze che ho.
Fireball,avrai modo di apprendere l'Analisi in
seguito (e penso che lo farai benissimo visto
le tue capacita' e le tue ottime conoscenze di base).
Naturalmente mi rivolgevo a chi l'Analisi la conosce gia'.
karl.
seguito (e penso che lo farai benissimo visto
le tue capacita' e le tue ottime conoscenze di base).
Naturalmente mi rivolgevo a chi l'Analisi la conosce gia'.
karl.
Propongo questa soluzione:
e^x ha derivata seconda sempre positiva e quindi il suo grafico ha la concavità verso l'alto e sta sempre sopra ogni sua retta tangente. In particolare sta sopra la tangente in x=0, che è y=x+1.
Dunque e^x>=x+1
lnx ha derivata seconda negativa per x>0 (suo dominio!) e quindi il suo gtrafico sta sempre sotto una sua tangente, per esempio alla retta tangente per x=1, che è y=x-1.
Dunque lnx<=x+1.
Morale della favola:
lnx<=x-1
Perché questa ostinazione a non voler guardare i grafici? Che cosa c'è di più chiaro di un grafico? Io ho fatto uno schizzo dei grafici e poi ho visto come procedere!
La soluzione di Karl è certamente più generale, ma questa mi sembra frizzantina.
Cavia
e^x ha derivata seconda sempre positiva e quindi il suo grafico ha la concavità verso l'alto e sta sempre sopra ogni sua retta tangente. In particolare sta sopra la tangente in x=0, che è y=x+1.
Dunque e^x>=x+1
lnx ha derivata seconda negativa per x>0 (suo dominio!) e quindi il suo gtrafico sta sempre sotto una sua tangente, per esempio alla retta tangente per x=1, che è y=x-1.
Dunque lnx<=x+1.
Morale della favola:
lnx<=x-1
Perché questa ostinazione a non voler guardare i grafici? Che cosa c'è di più chiaro di un grafico? Io ho fatto uno schizzo dei grafici e poi ho visto come procedere!
La soluzione di Karl è certamente più generale, ma questa mi sembra frizzantina.
Cavia
La richiesta di non ricorrere al grafico non e'
mia ma dell'estensore del quesito.
karl.
mia ma dell'estensore del quesito.
karl.
Ok, ma non volevo proprio essere polemico. Il fatto è che sono un amante della matematica "visiva"!
Ciao
Cavia
Ciao
Cavia
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