Un'equazione differenziale (fattore integrante)

[haterofman]

Vi propongo il seguente esercizio e la mia risoluzione. In fondo espongo i miei dubbi.



Data l'equazioni differenziale
$y'=(x(y^2-1))/(x^2+y^2+1)$ (1)
risolvere i problemi di Cauchy di punto iniziale (1,0) e (1,1).

Comincio con l'osservare che $f(x,y):=(x(y^2-1))/(x^2+y^2+1)$ è una funzione $RRtimesRR->RR$ di classe $C^1$.
Inoltre $AAJsubRR$ intervallo compatto, $AA x in J$ e $AAyinRR$: $(partialf)/(partialy)(x,y)=2xy(x^2+2)/(x^2+y^2+1)^2$ e $|(partialf)/(partialy)(x,y)|$ vale il teorema di esistenza e unicità globale.

Osserviamo che le sol. costanti di (1) sono $y=1$ e $y=-1$; pertanto $y=1$ è l'unica soluzione del p. d. C. di p.to iniziale (1,1).

Cerco tutte le altre sol. di (1).

$y'=-(M(x,y))/(N(x,y))$, ove:
$M(x,y):=-x(y^2-1)$,
$N(x,y):=x^2+y^2+1$,
$M,N in C^1(RR^2,RR)$,
$N(x,y)!=0$ $AA(x,y)inRR^2$.

Sia $omega(x,y):=M(x,y)"d"x+N(x,y)"d"y$ la forma differenziale "associata" ad (1).

$M_y(x,y)=-2xy!=2x=N_x(x,y)$ $=>$ $omega$ non è chiusa $=>$ $omega$ non è esatta.

Cerco un fattore integrante $phi(x,y)$ t.c. $omega_1(x,y):=phiMdx+phiNdy$ sia chiusa e dunque esatta ($RR$ semplicemente connesso).
$omega_1$ chiusa $<=>$ $(phiM)_y=(phiN)_x$ $<=>$ $phi_yM+phiM_y=phi_xN+phiN_x$ $<=>$ $phi_xN-phi_yM=phi(M_y-N_x).

Da trovare $a(x)$ e $b(y)$ t.c. $M_y-N_x=a(x)N-b(y)M$; in tal caso $phi(x,y)=alpha(x)beta(y)$ ove $alpha$ è una qualsiasi sol. non nulla di $alpha'=a(x)alpha$ e $beta$ è una qualsiasi sol. non nulla di $beta'=b(y)beta$.

$M_y-N_x=-2xy-2x=-2x(y+1)=-2/(y-1)*M+0*N$ $=>$ $b(y):=-2/(y-1)$ e $a(x)-=0$.

Una sol. non nulla di $alpha'=a(x)alpha=0$ è $alpha(x)=1$ $AA x in RR$.

Una sol. non nulla di $beta'=b(x)beta=-2/(y-1)$ (a variabili separabili) è $beta:(-infty,1)->RR$ $beta(y)=1/(y-1)^2$.

Dunque $phi(x,y)=1/(y-1)^2$ e $omega_1=-x(y+1)/(y-1)dx+(x^2+y^2+1)/(y-1)^2dy$.

$U:={(x,y)inRR^2 | y!=1}$, sia $F:U->RR$ una generica primitiva di $omega_1$
$F_x(x,y)=-x(y+1)/(y-1)$ $=>$ $F(x,y)=-x^2/2((y+1)/(y-1))+g(y)$ ove $g:RR-{0}->RR$ derivabile $=>$
$F_y(x,y)=x^2(y-1)^2+g'(y)=(x^2+y^2+1)/(y-1)^2$ $=>$ $g'(y)=(y^2+1)/(y-1)^2$
$int(y^2+1)/(y-1)^2dy=y+ln(y-1)^2-2/(y-1)+c$, $c inRR$

Pertanto $F(x,y)=-x^2/2((y+1)/(y-1))+y+ln(y-1)^2-2/(y-1)+c$, $c inRR$ tutte le primitive di $omega_1$.

Impongo $F(1,0)=0$ $=>$ $c=-3$;
$-x^2/2((y+1)/(y-1))+y+ln(y-1)^2-2/(y-1)-5=0$, def. implicitamente $y$ sol. di (1) t.c. $y(1)=0$.


Il mio problema è che questa $y$ è def., per il teor. del Dini, in un certo $(1-epsilon,1+epsilon)$ per qualhce $epsilon>0$. Ma, in base a quanto osservato preliminarmente, non avrei dovuto ottenere una sol. globale (dunque def. in tutto $RR$)??
Inoltre resta il problema di non poter esplicitare $y$.
In ogni caso, risolvere (1) in questa maniera mi sembra troppo laborioso. Ho commesso errori? Avrei potuto perseguire strade più brevi (e/o semplici)??
Grazie per l'attenzione, attendo pareri illuminanti!

[dissonance]

I conti, purtroppo, dubito molto che qualcuno troverà il tempo di mettersi a leggerli. Non mi stupisce che ci sia da fare questa mole di lavoro, però.

Quanto al fatto teorico:

Il mio problema è che questa y è def., per il teor. del Dini, in un certo (1-ε,1+ε)

Certo. Il teorema del Dini non ti dice proprio niente di più. Ma qui tu hai molte altre informazioni: hai infatti il teorema di esistenza e unicità globale. Tu sai a priori che esiste una funzione $y(x)$ definita ovunque e soluzione del tuo problema di Cauchy e quello che hai fatto, con tutti questi conti, è trovare una relazione implicita da essa verificata. In gergo si dice che hai trovato una formula di rappresentazione della soluzione.

E' un modo di procedere perfettamente normale: per prima cosa cerchi di capire se c'è una soluzione, poi se essa è unica, e solo alla fine provi ad ottenere per essa una rappresentazione più o meno esplicita (in questo caso è meno esplicita).