Un'applicazione del teorema di Fubini
Sul libro da cui studio c'è la seguente affermazione:
Non dubito che ciò sia vero, però non riesco ad arrivarci velocemente (sarà il sonno...).
Ad occhio direi che si deve passare attraverso il "rettangoloide" relativo ad $u^p$: infatti, visto che $||u||_p^p$ è la misura in $R^(N+1)$ del "rettangoloide" relativo ad $u^p$ calcolata integrando per verticali, il secondo membro della (*) dovrebbe essere la stessa cosa ottenuta integrando per orizzontali...
Voi che dite?
Se $Omega \subseteq RR^N$ è misurabile secondo Lebesgue ed $u:Omega\to [0,+oo[$ è in $L^p(Omega)$ allora (con una semplice applicazione del teorema di Fubini) si ottiene:
(*) $\quad ||u||_p^p=p*\int_0^(+oo)t^(p-1)*m_N(\{x \in Omega: u(x)>t\})" d"t$
[N.d.Gugo: $m_N$ è la misura di Lebesgue su $RR^N$.]
Non dubito che ciò sia vero, però non riesco ad arrivarci velocemente (sarà il sonno...).
Ad occhio direi che si deve passare attraverso il "rettangoloide" relativo ad $u^p$: infatti, visto che $||u||_p^p$ è la misura in $R^(N+1)$ del "rettangoloide" relativo ad $u^p$ calcolata integrando per verticali, il secondo membro della (*) dovrebbe essere la stessa cosa ottenuta integrando per orizzontali...
Voi che dite?
Risposte
Trovato... era abbastanza semplice.
Prendiamo $u\in C_c(Omega)$, così evitiamo situazioni strane.
Alla fin fine l'integrale di $u$ esteso ad $Omega$ è la misura in $RR^(N+1)$ del cilindroide subordinato al grafico di $u$, ossia di $C:=\{ (x,t)\in RR^(N+1):\quad x \in Omega , t\in [0,u(x)]\}$ (il quale ha misura finita perchè, essendo $u$ a supporto compatto, esso può essere racchiuso in un parallelepipedo), quindi si ha:
$m_(N+1)(C)=\int_Omega u(x)" d"x=\int_Omega (\int_0^(u(x))1" d"t)" d"x=\int_Omega (\int_(C_x) " d"y)" d"x=\int_Omega m_1(C_x) " d"x$
ove $C_x:=[0,u(x)]$ è la proiezione su $RR$ della sezione $1$-dimensionale del cilindroide ottenuta con una retta parallela all'asse $t$ e passante per il punto $(x,0)$, $m_1$ è la misura di Lebesgue in $RR$ ed $m_(N+1)$ è la misura di Lebesgue in $RR^(N+1)$.
Il teorema di Fubini mi garantisce la possibilità di calcolare l'integrale al terzo membro della precedente scambiando l'ordine d'integrazione: se riesco ad individuare delle opportune sezioni del cilindroide fatte con iperpiani paralleli all'iperpiano delle $x$ (ossia quello d'eq. $t=0$), allora usandone le proiezioni $C^t$ su $RR^N$ posso scrivere:
$m_(N+1)(C)=\int_0^(+oo) (\int_(C^t) " d"x)" d"t=\int_0^(+oo) m_N(C^t)" d"t$
senza preoccupazioni (perchè la convergenza del terzo membro è assicurata proprio dal teorema).
Se fisso $t>=0$, la proiezione che mi interessa è proprio $C^t:=\{ x\in Omega:\quad u(x)>=t\}$: infatti l'insieme $C^t\times \{ t\}$ è in $C$ e giace sul piano passante per $(0,t)$ parallelo al piano delle $x$. Ne viene che:
(*) $\quad \int_Omega u(x)" d"x=m_(N+1)(C)=\int_0^(+oo) m_N(\{x\in Omega: u(x)>t\})" d"t \quad$.
Ora, se sostituisco $u^p$ al posto di $u$ nella (*), se tengo presente che $u^p(x)>t \Leftrightarrow u(x)>t^(1/p)$ (perchè $u>=0$) e se faccio la sostituzione $tau^p=t$, trovo:
$\int_Omega u^p(x)" d"x=\int_0^(+oo) m_N(\{ x\in Omega: u(x)>tau\})*ptau^(p-1)" d"tau$
la quale, scritta meglio, diventa:
(**) $\quad ||u||_p^p=p*\int_0^(+oo) t^(p-1) m_N(\{ x\in Omega: u(x)>t\})" d"t$
che è proprio la tesi.
Per funzioni in $L^p$ che non sono $C_c$ credo si ragioni allo stesso modo, casomai con qualche complicazione formale in più (si dovrà scrivere q.o. da qualche parte, ma il ragionamento secondo me rimane simile).
Che dite, funziona?
Prendiamo $u\in C_c(Omega)$, così evitiamo situazioni strane.
Alla fin fine l'integrale di $u$ esteso ad $Omega$ è la misura in $RR^(N+1)$ del cilindroide subordinato al grafico di $u$, ossia di $C:=\{ (x,t)\in RR^(N+1):\quad x \in Omega , t\in [0,u(x)]\}$ (il quale ha misura finita perchè, essendo $u$ a supporto compatto, esso può essere racchiuso in un parallelepipedo), quindi si ha:
$m_(N+1)(C)=\int_Omega u(x)" d"x=\int_Omega (\int_0^(u(x))1" d"t)" d"x=\int_Omega (\int_(C_x) " d"y)" d"x=\int_Omega m_1(C_x) " d"x$
ove $C_x:=[0,u(x)]$ è la proiezione su $RR$ della sezione $1$-dimensionale del cilindroide ottenuta con una retta parallela all'asse $t$ e passante per il punto $(x,0)$, $m_1$ è la misura di Lebesgue in $RR$ ed $m_(N+1)$ è la misura di Lebesgue in $RR^(N+1)$.
Il teorema di Fubini mi garantisce la possibilità di calcolare l'integrale al terzo membro della precedente scambiando l'ordine d'integrazione: se riesco ad individuare delle opportune sezioni del cilindroide fatte con iperpiani paralleli all'iperpiano delle $x$ (ossia quello d'eq. $t=0$), allora usandone le proiezioni $C^t$ su $RR^N$ posso scrivere:
$m_(N+1)(C)=\int_0^(+oo) (\int_(C^t) " d"x)" d"t=\int_0^(+oo) m_N(C^t)" d"t$
senza preoccupazioni (perchè la convergenza del terzo membro è assicurata proprio dal teorema).
Se fisso $t>=0$, la proiezione che mi interessa è proprio $C^t:=\{ x\in Omega:\quad u(x)>=t\}$: infatti l'insieme $C^t\times \{ t\}$ è in $C$ e giace sul piano passante per $(0,t)$ parallelo al piano delle $x$. Ne viene che:
(*) $\quad \int_Omega u(x)" d"x=m_(N+1)(C)=\int_0^(+oo) m_N(\{x\in Omega: u(x)>t\})" d"t \quad$.
Ora, se sostituisco $u^p$ al posto di $u$ nella (*), se tengo presente che $u^p(x)>t \Leftrightarrow u(x)>t^(1/p)$ (perchè $u>=0$) e se faccio la sostituzione $tau^p=t$, trovo:
$\int_Omega u^p(x)" d"x=\int_0^(+oo) m_N(\{ x\in Omega: u(x)>tau\})*ptau^(p-1)" d"tau$
la quale, scritta meglio, diventa:
(**) $\quad ||u||_p^p=p*\int_0^(+oo) t^(p-1) m_N(\{ x\in Omega: u(x)>t\})" d"t$
che è proprio la tesi.
Per funzioni in $L^p$ che non sono $C_c$ credo si ragioni allo stesso modo, casomai con qualche complicazione formale in più (si dovrà scrivere q.o. da qualche parte, ma il ragionamento secondo me rimane simile).
Che dite, funziona?
La TEORIA è quando si sà tutto, ma non funziona alcunchè. La PRATICA è quando funziona tutto, ma non si sà alcunchè di teoria. L'ignoranza è quando non funziona alcunchè e non si sà perché.
"PaoloXLIX":
La TEORIA è quando si sà tutto, ma non funziona alcunchè. La PRATICA è quando funziona tutto, ma non si sà alcunchè di teoria. L'ignoranza è quando non funziona alcunchè e non si sà perché.
Come direbbe Di Pietro... E questo che ci azzecca?
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