Una successione ed un limite
Salve a tutti mi sono imbattuto in questa successione ma che dovrei se non ho capito male definire (vedere se è limitata e studiarne la crescenza , credo) per altre ci sono riuscito per questa non so da dove iniziare
${(0
inoltre dovrei vedere per valori diversi $alpha$
$lim ((n+1)^alpha - n^alpha)/n^(alpha-1)$ con n che tende all'infinito
ora per quest'ultima devo prima cercarla di ridurre per poi discutere o devo fare altre considerazione
grazie
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inoltre dovrei vedere per valori diversi $alpha$
$lim ((n+1)^alpha - n^alpha)/n^(alpha-1)$ con n che tende all'infinito
ora per quest'ultima devo prima cercarla di ridurre per poi discutere o devo fare altre considerazione
grazie
Risposte
Per il primo esercizio, detta $Phi(x):=x+sin\ x$ la funzione generatrice della tua successione, hai che questa funzione è strettamente crescente. Quindi, se non ricordo male, la tua successione è monotona, crescente o decrescente a seconda che $x_2-x_1$ sia positivo o negativo; nel tuo caso questo numero è positivo e la successione è crescente. Questa successione è quindi a valori in $[x_1, +infty)$, e converge al più piccolo punto fisso di $Phi$ in questo intervallo: $pi$.
P.S.:Controlla perché non sono cose che ho fresche e potrei aver sparato qualche grossa fesseria.
RiP.S.: Ho controllato e mi pare che sia corretto. Se ti può servire, ecco il grafico "a ragnatela" della successione (prime 30 iterate), prendendo come punto iniziale $0.5$. In rosso la funzione generatrice $x+sin(x)$, in giallo la funzione identica e in nero i segmenti con estremi i valori assunti dalla successione.
Dopo 5 iterate la successione è in un intorno di $pi$ così piccolo da non essere apprezzabile.
P.S.:Controlla perché non sono cose che ho fresche e potrei aver sparato qualche grossa fesseria.
RiP.S.: Ho controllato e mi pare che sia corretto. Se ti può servire, ecco il grafico "a ragnatela" della successione (prime 30 iterate), prendendo come punto iniziale $0.5$. In rosso la funzione generatrice $x+sin(x)$, in giallo la funzione identica e in nero i segmenti con estremi i valori assunti dalla successione.
Dopo 5 iterate la successione è in un intorno di $pi$ così piccolo da non essere apprezzabile.
Invece per il secondo esercizio io procederei così:
come prima cosa raccogliamo la $n$ al numeratore, così da avere la possibilità di sfruttare lo sviluppo per $x\to0$ di $(1+x)^alpha$:
$(1+x)^alpha=sum_{n=0}^infty((alpha),(n))x^n$ ($((alpha),(n))$ indica il coefficiente binomiale generalizzato).
Otteniamo: $((n+1)^alpha-n^alpha)/(n^(alpha-1))=(n^alpha)/(n^(alpha-1))*[(1+1/n)^alpha-1]=n[(1+1/n)^alpha-1]$. Arrestando al primo ordine lo sviluppo di prima, possiamo esprimere $(1+1/n)^alpha$ come $1+alpha/n+o(1/n)$, per cui la nostra successione è uguale a $alpha+no(1/n)=alpha+(o(1/n))/(1/n)\toalpha$.
come prima cosa raccogliamo la $n$ al numeratore, così da avere la possibilità di sfruttare lo sviluppo per $x\to0$ di $(1+x)^alpha$:
$(1+x)^alpha=sum_{n=0}^infty((alpha),(n))x^n$ ($((alpha),(n))$ indica il coefficiente binomiale generalizzato).
Otteniamo: $((n+1)^alpha-n^alpha)/(n^(alpha-1))=(n^alpha)/(n^(alpha-1))*[(1+1/n)^alpha-1]=n[(1+1/n)^alpha-1]$. Arrestando al primo ordine lo sviluppo di prima, possiamo esprimere $(1+1/n)^alpha$ come $1+alpha/n+o(1/n)$, per cui la nostra successione è uguale a $alpha+no(1/n)=alpha+(o(1/n))/(1/n)\toalpha$.
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