Una Successione di Integrali

[gugo82]

Problema:

È vero che risulta:
\[
\int \frac{1}{x (x-1)(x-2)\cdots (x-n)}\ \text{d} x = \frac{1}{n!}\ \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} (-1)^k\ \log |x-n+k|
\]
per ogni $n\in \NN$?

[renyhp]

La butto lì, non so se funziona o se già ci hai pensato: prova a dimostrarlo per induzione... Con l'integrale magari puoi cavartela con una integrazione per parti, mentre per i coefficienti binomiali ci sono delle formule che corrispondono alla costruzione del triangolo di Tartaglia.

[spugna2]

Abbiamo un'espressione del tipo $1/{(x-a_0)(x-a_1)...(x-a_n)}$, che si può riscrivere come $sum_{k=0}^n C_k/{x-a_k}$: per trovare i coefficienti $C_k$, imponiamo l'uguaglianza tra le due espressioni, dopodiché moltiplichiamo per il denominatore comune e valutiamo in $a_k$, ottenendo $C_k=1/{prod_{j \ne k}(a_k-a_j)}$. Nel nostro caso $a_k=n-k$, da cui

$C_k=1/{prod_{0 le j < k}(j-k) prod_{k

PS: falso perché manca la costante

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