Una specie di sviluppo di Taylor

[thedarkhero]

Considero una funzione $f:[0,1]\timesRR^d\times\Gamma \rightarrow RR^d$, $(t,x,u) \mapsto f(t,x,u)$, dove $\Gamma\subseteqRR^m$.
Suppongo che $f(\cdot,\cdot,\cdot)$ sia continua, che $f$ sia continua rispetto a $(t,x)$ uniformemente in $u$, che per ogni $(t,u) \in [0,1]\times\Gamma$ $f(t,\cdot,u)$ sia differenziabile con continuità e che esista una costante $K>0$ indipendente da $(t,u)$ tale che $|f(t,x,u)-f(t,y,u)|<=K|x-y|$ $\forall x,y \in RR^d$ e $|f(t,x,u)|<=K(1-|x|)$ $\forall x \in RR^d$.

Ad un certo punto mi imbatto in questa uguaglianza:
$f(\theta, x(\theta;z), \hatu(\theta))-f(\theta,\hatx(\theta),\hatu(\theta)) = f_x^T(\theta,\hatx(\theta),\hatu(\theta))(x(\theta;z)-\hatx(\theta))+\epsilon(\theta;z)(x(\theta;z)-\hatx(\theta))$
dove $\epsilon(\theta;z) = \int_0^1 {f_x^T(\theta,\hatx(\theta)+\alpha(x(\theta;z)-\hatx(\theta)),\hatu(\theta))-f_x^T(\theta,\hatx(\theta),\hatu(\theta))} d\alpha$
e valgono le seguenti proprietà:
$lim_{z \rightarrow \hatx(t)}\epsilon(\theta;z)=0$
$"sup"_{\theta,z}|\epsilon(\theta;z)|<="costante"$.
Questa uguaglianza mi ricorda vagamente uno sviluppo di Taylor di $f$ centrato in $(\theta,\hatx(\theta),\hatu(\theta))$, ma la presenza del termine $\epsilon(\theta;z)$ mi è nuova.
Qualcuno mi saprebbe indicare di cosa si tratta?

[Mephlip]

Sembra uno sviluppo di Taylor con resto integrale.

[thedarkhero]

$f(\theta, x(\theta;z), \hatu(\theta))-f(\theta,\hatx(\theta),\hatu(\theta))=f_x^T(\theta,\hatx(\theta), \hatu(\theta))(x(\theta;z)-\hatx(\theta))+"resto"$
mi torna, è proprio lo sviluppo di Taylor.
Quello che non mi torna è perchè
$"resto"=\epsilon(\theta;z)(x(\theta;z)-\hatx(\theta))$.