Una simpatica trasformata di Fourier
Ciao a tutti, non riesco a calcolare la trasformata di Fourier di:
$x(t)=t * Rect(t-1/2)$
Qualcuno potrebbe darmi la traccia della soluzione? Grazie!
Volevo aggiungere una cosa: io ho provato a calcolare la trasformata utilizzando la proprietà di derivazione in frequenza, ma il risultato non mi convince, è per questo che chiedevo una traccia sui passaggi! Comunque il risultato che ottengo io è:
$X(f)=(sinc(f)*e^(-j*pi*f)-e^(-j*2*pi*f))/(j*2*pi*f)$ dove $sinc(f)=(sin(pi*f)/(pi*f))$
$x(t)=t * Rect(t-1/2)$
Qualcuno potrebbe darmi la traccia della soluzione? Grazie!
Volevo aggiungere una cosa: io ho provato a calcolare la trasformata utilizzando la proprietà di derivazione in frequenza, ma il risultato non mi convince, è per questo che chiedevo una traccia sui passaggi! Comunque il risultato che ottengo io è:
$X(f)=(sinc(f)*e^(-j*pi*f)-e^(-j*2*pi*f))/(j*2*pi*f)$ dove $sinc(f)=(sin(pi*f)/(pi*f))$
Risposte
cos'è rect(.)?
"ayeyye":
cos'è rect(.)?
Hai ragione, scusa non ci ho pensato! Io sto lavorando con dei segnali e con $Rect(.)$ intendevo un impulso rettangolare.
Comunque nel caso specifico $Rect(t-1/2)$ è una funzione di $t$ che vale $1$ nell'intervallo $[0,1]$ ed è nulla altrove.
Poi c 'è anche la moltiplicazione per $t$ però!
no perchè stavo studiando anche io ste cose.
dunque $X(omega)=int_(-oo)^(oo)t*Rect(t-1/2)*e^(-iomegat)=int_(-1)^(1)t*1*e^(-iomegat)$ si deve integrare $e^(iomegat)*t$ per parti giusto? chiedo conferma.
dunque $X(omega)=int_(-oo)^(oo)t*Rect(t-1/2)*e^(-iomegat)=int_(-1)^(1)t*1*e^(-iomegat)$ si deve integrare $e^(iomegat)*t$ per parti giusto? chiedo conferma.
L'integrale che hai impostato è corretto, però questo metodo risolutivo (applicando la definizione) è più impegnativo, appunto perchè devi risolvere l'integrale.
Io invece cerco sempre di sfruttare le proprietà della trasformata, come ho aggiunto nel primo post. Di solito si fa più velocemente, ma in questo caso ho dei dubbi!
Io invece cerco sempre di sfruttare le proprietà della trasformata, come ho aggiunto nel primo post. Di solito si fa più velocemente, ma in questo caso ho dei dubbi!
forse ci va anche un 1/2pigreco, dunque la formula di derivazione dà che $X(f'(t))=iomegaX(f(t))$ allora posso pensare $X(f(t))=1/(iomega)X(f'(t))$ ma la f(t) non è derivabile non si può fare
ma è giusto?
Scusa ayeyye ma quello che hai scritto non mi è molto chiaro 
Comunque alla fine ho trovato il risultato corretto: scrivo qualche passaggio nel caso possa essere utile a qualcuno!
$x(t)=t*Rect(t-1/2)=-j2pit*Rect(t-1/2)*1/(-j2pi)$
$F[x(t)]=1/(-j2pi)*F[-j2pit*Rect(t-1/2)]=1/(-j2pi)*(d(sinc(f)*e^(-jpif)))/(df)$
Nell'ultimo passaggio ho sfruttato la trasformata notevole di Rect(t), la proprietà di traslazione temporale e quella di derivazione in frequenza.
A questo punto basta esplicitare la derivata e fare qualche raccoglimento per scriverla in maniera decente e si ottiene la F-trasformata di x(t).
Comunque alla fine ho trovato il risultato corretto: scrivo qualche passaggio nel caso possa essere utile a qualcuno!
$x(t)=t*Rect(t-1/2)=-j2pit*Rect(t-1/2)*1/(-j2pi)$
$F[x(t)]=1/(-j2pi)*F[-j2pit*Rect(t-1/2)]=1/(-j2pi)*(d(sinc(f)*e^(-jpif)))/(df)$
Nell'ultimo passaggio ho sfruttato la trasformata notevole di Rect(t), la proprietà di traslazione temporale e quella di derivazione in frequenza.
A questo punto basta esplicitare la derivata e fare qualche raccoglimento per scriverla in maniera decente e si ottiene la F-trasformata di x(t).
ma fai il triplo dei passaggi, non ti conveniva risolvere l'integrale per parti? almeno ti risparmiavi quella derivata lunga e tediosa, inoltre potresti incorrere ad errori procedendo così
si risolvendo l'integrale si dovrebbe arrivare alla stessa soluzione, però adesso mi sto esercitando a sfruttare le proprietà quindi ho preso questa strada!
ps. la derivata si fa in un passaggio
ps. la derivata si fa in un passaggio
scusa se te lo chiedo, è che la prox settimana ho un esame su qst cose .
come fai a derivare quella cosa in un passaggio? è un risultato noto?
.come fai a derivare quella cosa in un passaggio? è un risultato noto?
no, non è un risultato noto. è una normale derivata fatta rispetto a f: ti basta usare i teoremi sulla derivata di un prodotto e di un quoziente.
se il tuo dubbio è sulla funzione $sinc(f)$ ho scritto nel primo post che $sinc(f)=sin(pif)/(pif)$
è una funzione che in ingegneria incontro spesso, non so poi negli altri campi!
spero di esserti stato utile!
se il tuo dubbio è sulla funzione $sinc(f)$ ho scritto nel primo post che $sinc(f)=sin(pif)/(pif)$
è una funzione che in ingegneria incontro spesso, non so poi negli altri campi!
spero di esserti stato utile!
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