Una serie...conosciuta

[Sk_Anonymous]

Dimostrare che la somma infinita:
$0.1+0.01+0.002+0.0003+0.00005+0.000008+0.0000013+...$
converge ad un numero razionale.
Archimede

[ficus2002]

se $y_n$ è la successione di fibonacci
$y_0=0$
$y_1=1$
$y_{n+2}=y_{n+1}+y_{n}$

allora la serie è $sum_{n=0}^{+oo} 10^{-n}y_n$
Poi, $y_n=(r_+^n-r_-^n)/sqrt(5)$
dove $r_+=(1+sqrt(5))/(2)$ e $r_{-}=(1-sqrt(5))/(2)$,
quindi

$sum_{n=0}^{+oo} 10^{-n}y_n=(1/sqrt(5)) sum_{n=0}^{+oo} (r_+/10)^n-(1/sqrt(5))sum_{n=0}^{+oo} (r_-/10)^n=$
$=(1/sqrt(5))(1/(1-(r_+/10))-1/(1-(r_-/10)))=(1/sqrt(5))10 ((√5)/(89))=10/89$

[Sk_Anonymous]

Ottima soluzione.La mia fa uso della cosiddetta funzione generatrice
ma e' piu o meno equivalente.
Ciao.
Archimede

[ficus2002]

ciao, se vuoi postare comunque la tua soluzione a me interessa!

[Sk_Anonymous]

Si puo' dimostrare che :
$sum_(n=0)^(oo)F_nz^n=z/(1-z-z^2)$
dove gli $F_n$ sono i numeri di Fibonacci a partire dalla coppia (0,1)
e cioe': 0,1,1,2,3,5,8,13,... e la frazione a secondo membro e' detta
appunto funzione generatrice.La sua dimostrazione
richiede un po' di pazienza e magari la posto in seguito.
Ponendo nella formula $z=1/(10)$ si ha il risultato richiesto.
Saluti.
Archimede.