Una serie numerica
Volevo chiedere intanto una cosa in generale.Ma se io ho una serie a segni alterni e ne studio l'assoluta convergenza, supponiamo ci sia un valore x e che studiando l'assoluta convergenza e applicando il criterio del rapporto ottnego come valore del limite x.
Posso dire che per x<1 è assoltamente convergente ma non per x>=1.
Ora mi chiedevo se posso concludere che questa ipotetica serie converge assolutamente e quindi converge per x<1, e poi mi studio i casi x>1 e x=1 in altro modo, oppure con il fatto che non ottengo un unico valore del limite non posso dire nulla.
Oltre a questo ecco una serie che avevo provato a risolvere.
[tex]\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{x^{n}}{(n)!}cos(n!x)[/tex]
Dovrebbe convergere per x=0.
Sennò dovrebbe essere a segni alterni....ho applicato studiando l'assoluta convergenza il corollario al criterio del rapporto e sono dubbioso sui miei calcoli, arrivo a:
[tex]\frac{xcos[(n+1)!x]}{cos(n!x)}*\frac{n!}{n!(n+1)}[/tex]
Quindi avrei la prima frazione che moltiplica 0, non so se è corretto fin dove sono arrivato, ma avrei la mia prima frazione che ha due funzioni limitate che moltiplicano una infinitesima, mi viene da pensare che il limite faccia 0.
La serie dovrebbe essere assolutamente convergente e convergente in ogni caso...
Posso dire che per x<1 è assoltamente convergente ma non per x>=1.
Ora mi chiedevo se posso concludere che questa ipotetica serie converge assolutamente e quindi converge per x<1, e poi mi studio i casi x>1 e x=1 in altro modo, oppure con il fatto che non ottengo un unico valore del limite non posso dire nulla.
Oltre a questo ecco una serie che avevo provato a risolvere.
[tex]\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{x^{n}}{(n)!}cos(n!x)[/tex]
Dovrebbe convergere per x=0.
Sennò dovrebbe essere a segni alterni....ho applicato studiando l'assoluta convergenza il corollario al criterio del rapporto e sono dubbioso sui miei calcoli, arrivo a:
[tex]\frac{xcos[(n+1)!x]}{cos(n!x)}*\frac{n!}{n!(n+1)}[/tex]
Quindi avrei la prima frazione che moltiplica 0, non so se è corretto fin dove sono arrivato, ma avrei la mia prima frazione che ha due funzioni limitate che moltiplicano una infinitesima, mi viene da pensare che il limite faccia 0.
La serie dovrebbe essere assolutamente convergente e convergente in ogni caso...
Risposte
Con una semplice meggiorazione si trova:
[tex]$\left| \frac{x^n}{n!} \ \cos n!x\right| \leq \frac{|x|^n}{n!}$[/tex]
col secondo membro infinitesimo per ogni [tex]$x\in \mathbb{R}$[/tex] d'ordine infinitamente grande; ergo la serie [tex]$\sum \frac{|x|^n}{n!}$[/tex] converge per ogni [tex]$x\in \mathbb{R}$[/tex] (e converge ad [tex]$e^{|x|}$[/tex], tra l'altro) e la serie assegnata converge assolutamente anch'essa per ogni [tex]$x\in \mathbb{R}$[/tex].
[tex]$\left| \frac{x^n}{n!} \ \cos n!x\right| \leq \frac{|x|^n}{n!}$[/tex]
col secondo membro infinitesimo per ogni [tex]$x\in \mathbb{R}$[/tex] d'ordine infinitamente grande; ergo la serie [tex]$\sum \frac{|x|^n}{n!}$[/tex] converge per ogni [tex]$x\in \mathbb{R}$[/tex] (e converge ad [tex]$e^{|x|}$[/tex], tra l'altro) e la serie assegnata converge assolutamente anch'essa per ogni [tex]$x\in \mathbb{R}$[/tex].
Mh.....
Il confronto non l'avevo pensato, però quadra.
Ma la mia soluzione è solamente più lunga o anche scorretta?
Non capisco perchè metti il valore assoluto, non dovrebbe essere minore o uguale a prescindere?
se il coseno è compreso tra -1 e 1 allora sarà minore, se vale o meno 1 o 1 sarà sempre minore o uguale, perchè col valore assoluto?
Ah, lo metti perchè si tratta di assoluta convergenza vero?
Il confronto non l'avevo pensato, però quadra.
Ma la mia soluzione è solamente più lunga o anche scorretta?
Non capisco perchè metti il valore assoluto, non dovrebbe essere minore o uguale a prescindere?
se il coseno è compreso tra -1 e 1 allora sarà minore, se vale o meno 1 o 1 sarà sempre minore o uguale, perchè col valore assoluto?
Ah, lo metti perchè si tratta di assoluta convergenza vero?
Diciamo che è quasi giusta: infatti mancano i valori assoluti (ricorda che il criterio del rapporto è un criterio di convergenza assoluta).
Tuttavia, la conclusione è esatta: la serie converge assolutamente, perché il limite dei rapporti è nullo (e perciò [tex]$<1$[/tex]).
Tuttavia, la conclusione è esatta: la serie converge assolutamente, perché il limite dei rapporti è nullo (e perciò [tex]$<1$[/tex]).
Ok grazie mille!
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