Una serie ed un integrale

[Fregior]

Ciao a tutti!
Studiando probabilità (in particolare Poisson) ad un certo punto mi ritrovo:
$ sum_(j =0) ^(\infty) \lambda^j/(j!)=e^\lambda $ come si dimostra questa cosa?

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Inoltre in un altro passaggio, sulle variabili continue, il libro dice posto $Y=e^X$ e $1 P{X $ int_(0)^(lnx) f(y)dy =ln(x) $
Il problema è che non spiega i passaggi quindi non sono sicuro se in ultimo passaggio usa semplicemente le proprietà della funzione integrale.

Son passaggi di Analisi (e mi interessa l'aspetto analitico) quindi mi son permesso di aprire qui il thread, spero sia la sezione giusta!

Grazie in anticipo

[moari]

Ciao,
La dimostrazione di quella serie la puoi trovare qui: https://it.wikipedia.org/wiki/E_(costante_matematica)

Per quanto riguarda la seconda parte, le mie conoscenze di calcolo delle probabilità non sono freschissime, però mi sembra che tu stia facendo una trasformazione di variabile aleatoria. Hai una $$ Y=e^X $$ v.a. ma $$ f(x) $$ non viene specificato, come mai? Ora non si capisce cosa chiedi, c'è un poco di confusione con le parentesi e le lettere maiuscole e minuscole, magari copia con più fedeltà i passaggi del libro e potremo capire perché quell'integrale è uguale al logaritmo (fatto giustificabile se $$ f(y) $$ fosse costante di valore 1)

[Fregior]

Grazie per la risposta. L'unico errore è che per sbaglio ho fatto un errore di battitura e avevo messo $T$ invece che $X$ per il resto è identico ai passaggi del libro.
La funzione di densità è $f(x)=1 text{ se } 0 Non mi è chiarissimo perché passi da $P{X Grazie ciao!

[moari]

In linea generale l'integrale lo hai perché la probabilità si calcola come integrale della densità con degli estremi di integrazione definiti. Se tu calcolassi l'integrale indefinito della densità avresti come risultato 1 (altrimenti non sarebbe una densità). Per farti un'esempio se $ X $ variabile aleatoria di densità $ f(x) $ funzione indicatrice in $ (0,1) $ e vuoi calcolare
$ P(X1 $ sarebbe banale la risposta.

Se parti dal tuo integrale $ int_(0)^(ln(x)) f(y) dy $ a ritroso arrivi ad una espressione del tipo $ P(Y

"Fregior":$P{X
che invece ti porterebbe, limitatamente alla condizione $ 0 che è comunque diverso da quello che specifichi tu

Tutto questo supponendo che le mie conoscenze di calcolo delle prob. non mi stiano fallendo

[Fregior]

Grazie per la risposta! Quello che a me serve, al momento, è ragionarci su magari con qualcuno.
Comunque dovrei sapere la funzione di densità è che l'area sottesa è pari ad $\Omega$ e $P(\Omega)=\1$ in questo caso particolare l'integrale da 0 ad 1 della funzione di densità dovrebbe restituire 1 e va bene. Alla fine sono integrali definiti.
Quello che mi lascia perplesso è perché si passi a $f(y)$ qual è il suo significato...

Ovviamente se abbiamo $P(X magari è una cosa banale ma ora non mi viene in mente...



Di solito non lo faccio perché so che è meglio scrivere in formule, però avendole già scritto metto comunque il testo dell'esercizio per essere sicuro di non aver perso dettagli importanti

[Overflow94]

Il modo più diretto per risolverlo è considerare che $ h(x)=e^x $ è una funziona strettamente cresciente di una variabile continua, quindi: $ f_y(y)=f_x(h^(-1)(y))*d/dyh^-1(y) $

Proof.

$ F_y(y)=P(Y<=y)=P(X<=h^-1(y))=F_x(h^-1(y)) $

$ F_y(y)=F_x(h^-1(y)) $

Deriviamo in y entrambi i termini:

$ f_y(y)=f_x(h^(-1)(y))*d/dyh^-1(y) $


Nel nostro caso $ f_y(y)=1/y $ quindi $ F_y(y)=lny $ con $ 1<=y<=e $ (ho integrato la funzione di densità fra $ 1$ e $ y $ ).

Facciamo l'integrale della media dove y*(1/y) si semplifica:

$ E(Y)=int_(1)^(e) dy =e-1 $


Quel $ f(y) $ nel tuo libro non è altro che la distribuzione di probabilità di x che è uguale a 1 costante quindi l'integrale torna in quel modo. C'è da dire che usa i simboli in modo davvero pessimo, non specifica nelle distribuzioni a quale variabile si riferiscono e sotto il segno di integrale dove le variabili sono mute ha scelto l'unico simbolo che avrebbe potuto incasinare ulteriormente l'interpretazione ( cioè y ).
Questi sono i libri che ti fanno passare la voglia di studiare perché ti tocca spendere 20 minuti per capire cose che se fossero scritte bene sarebbero immediate.

[moari]

"Overflow94":
Quel $ f(y) $ nel tuo libro non è altro che la distribuzione di probabilità di x che è uguale a 1 costante quindi l'integrale torna in quel modo. C'è da dire che usa i simboli in modo davvero pessimo, non specifica nelle distribuzioni a quale variabile si riferiscono e sotto il segno di integrale dove le variabili sono mute ha scelto l'unico simbolo che avrebbe potuto incasinare ulteriormente l'interpretazione ( cioè y ).
Questi sono i libri che ti fanno passare la voglia di studiare perché ti tocca spendere 20 minuti per capire cose che se fossero scritte bene sarebbero immediate.

Concordo, in ogni caso la cosa importante è che tu abbia capito il meccanismo: il legame tra funzione di ripartizione e funzione di densità, a prescindere da notazioni e appellativi è derivazione<--->integrazione