Una Serie e un integrale! [modificato]
Ecco qui una serie e un integrale che non riesco a risolvere.. spero possiate aiutarmi grazie!
[size=75]NB: titolo modificato per il buon nome del forum
Fioravante Patrone[/size]
[size=75]NB: titolo modificato per il buon nome del forum
Fioravante Patrone[/size]
Risposte
Per ogni $x \ge 0$: $x \ge \ln(1+x)$. Dunque $3/n - \ln(1+1/n) \ge 2/n$, se $n = 2, 3, ...$ Di conseguenza, per confronto, la serie è divergente.
[size=150]"Un'integrale"[/size] 
Che facciamo? Lo banniamo al volo?
Che facciamo? Lo banniamo al volo?
Eh... per offesa alla lingua italiana 
sostituisci $e^x$=t quindi trovi x=logt e dx=$1/t$dt...
$\int_0^1t/(t(t^2+t+1))dt$ quindi semplifichi la t e poi trovi: $b/(2a)$=$1/2$ e -$\Delta/(4a^2)$= $3/4$ quindi facendo i dovuti passaggi il risultato esce: $2/sqrt(3)$arctg$(2*e^x+1)/sqrt(3)$
$\int_0^1t/(t(t^2+t+1))dt$ quindi semplifichi la t e poi trovi: $b/(2a)$=$1/2$ e -$\Delta/(4a^2)$= $3/4$ quindi facendo i dovuti passaggi il risultato esce: $2/sqrt(3)$arctg$(2*e^x+1)/sqrt(3)$
scusate per l'italiano.. guardate l'ora in cui avevo aperto il topic XD
"fax":
sostituisci $e^x$=t quindi trovi x=logt e dx=$1/t$dt...
$\int_0^1t/(t(t^2+t+1))dt$ quindi semplifichi la t e poi trovi: $b/(2a)$=$1/2$ e -$\Delta/(4a^2)$= $3/4$ quindi facendo i dovuti passaggi il risultato esce: $2/sqrt(3)$arctg$(2*e^x+1)/sqrt(3)$
non capisco questo: $b/(2a)$=$1/2$ e -$\Delta/(4a^2)$= $3/4$
(abbiate pazienza ma ho qualche lacuna nelle scomposizioni). Mi spiegate questa regoletta?
"CyberCrasher":
scusate per l'italiano.. guardate l'ora in cui avevo aperto il topic XD
non dovresti alzarti cosi' presto la mattina!
Spero di non averti offeso, un'errore di stampa capita a tutti (l'errata corrige del mio libro sta diventando vergognosamente lunga).
Ciao
nono.. non mi sono per niente offeso.. diciamo che ho provato a giustificarmi ihih
Si tratta di manipolare $t^2+t+1$ in maniera opportuna .
L'equazione $ t^2+t+1=0 $ non ha radici reali allora ( questo è importante) vuol dire che il relativo trinomio si può sempre scomporre nella somma di due quadrati.
Per far questo si usa il metodo del completamento del quadrato : naturalmente $t^2+t+1$ non è un quadrato ma cerco di vederci lo stesso un quadrato da completare :guardo il termine di secondo e di primo grado .
Allora se scrivessi $(t+1/2)^2 $ i termini di secondo e di primo grado corrispondono e quasi ci sono ..
In realtà $ (t+1/2)^2 = t^2+t+1/4$.
Quindi alla fine posso trasformare così $ t^2+t+1=(t+1/2)^2+3/4$ che è proprio la somma di due quadrati.
A questo punto se raccolgo $ 3/4 $ ottengo che
$1/(t^2+t+1) = 1/((3/4)(1+((t+1/2)/(sqrt(3)/2))^2)$ ed è adesso facile integrare e ottenere come primitiva senz'altro una funzione $arctg....$
L'equazione $ t^2+t+1=0 $ non ha radici reali allora ( questo è importante) vuol dire che il relativo trinomio si può sempre scomporre nella somma di due quadrati.
Per far questo si usa il metodo del completamento del quadrato : naturalmente $t^2+t+1$ non è un quadrato ma cerco di vederci lo stesso un quadrato da completare :guardo il termine di secondo e di primo grado .
Allora se scrivessi $(t+1/2)^2 $ i termini di secondo e di primo grado corrispondono e quasi ci sono ..
In realtà $ (t+1/2)^2 = t^2+t+1/4$.
Quindi alla fine posso trasformare così $ t^2+t+1=(t+1/2)^2+3/4$ che è proprio la somma di due quadrati.
A questo punto se raccolgo $ 3/4 $ ottengo che
$1/(t^2+t+1) = 1/((3/4)(1+((t+1/2)/(sqrt(3)/2))^2)$ ed è adesso facile integrare e ottenere come primitiva senz'altro una funzione $arctg....$
Allora.. vediamo se ho capito tutto:
$e^x$=t quindi trovi x=logt e dx=$1/t$dt...
$\int_0^1e^x/(e^(2x)+e^x+1)$ = $\int_0^1t/(t^2+t+1) 1/t$ = $\int_0^1 1/(t^2+t+1)$ = $\int_0^1 1/((t+1/2)^2+3/4)$ = $4/3 \int_0^1 1/((16/9t+8/9)^2+1)$ = $(4/3)(9/16) \int_0^1 (16/9)/((16/9t+8/9)^2+1)$ = $3/4 arctg(16/9t+8/9)=
=$3/4 arctg(16/9e^x+8/9) =$
=$3/4 arctg(16/9e^1+8/9) - 3/4 arctg(16/9+8/9) $
$e^x$=t quindi trovi x=logt e dx=$1/t$dt...
$\int_0^1e^x/(e^(2x)+e^x+1)$ = $\int_0^1t/(t^2+t+1) 1/t$ = $\int_0^1 1/(t^2+t+1)$ = $\int_0^1 1/((t+1/2)^2+3/4)$ = $4/3 \int_0^1 1/((16/9t+8/9)^2+1)$ = $(4/3)(9/16) \int_0^1 (16/9)/((16/9t+8/9)^2+1)$ = $3/4 arctg(16/9t+8/9)=
=$3/4 arctg(16/9e^x+8/9) =$
=$3/4 arctg(16/9e^1+8/9) - 3/4 arctg(16/9+8/9) $
"Gabriel":
Per ogni $x \ge 0$: $x \ge \ln(1+x)$. Dunque $3/n - \ln(1+1/n) \ge 2/n$, se $n = 2, 3, ...$ Di conseguenza, per confronto, la serie è divergente.
Sono troppo noob.. per favore spiegatemi come si ci arriva XD
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