Una serie di una successione reale con somma complessa?

[Bianco17]

Mi sono imbattuto in un integrale abbastanza noto, ovvero \[I=\int_0^\frac\pi4 \ln(\tan x)\ \text{d} x=-G\] dove $G$ è la costante di Catalan. Prima però di ricordare questo valore "noto", ho perso la testa in un mare di calcoli ottenendo un valore che mi ha fatto parecchio strano, cioè il numero complesso \[I=2\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(4n+3)^2}-\frac34 \zeta(2)-\frac i8\] Sono abbastanza sicuro dei calcoli ma non capisco come sia possibile un risultato del genere soprattutto perché questo implicherebbe che $-G$ corrisponda a quel valore lì e che l'integrale e quindi anche la serie di Catalan abbiano un valore complesso… I calcoli sono davvero tanti e non li riporto qui interamente ma, se mai qualcuno volesse cimentarsi, l'idea è stata di ricondurre $\tan x$ a $i \frac{1-e^{2ix}}{1+e^{2ix}}$ e sostituire nell'integrale in maniera tale da poter esprime il logaritmo come una serie. Ho ottenuto quindi \[I=\int_0^\frac\pi4 \ln\left(i\frac{1-e^{2ix}}{1+e^{2ix}}\right)\ \text{d} x=\int_0^\frac\pi4 \ln i \ \text{d}x+\int_0^\frac\pi4 \ln(1-e^{2ix})\text{d} x-\int_0^\frac\pi4 \ln(1-(-e^{2ix}))\ \text{d} x=\\= \frac34 i\zeta(2)-\int_0^\frac\pi4 \sum_{n=1}^\infty \frac{e^{2inx}}{n}\ \text{d} x+\int_0^\frac\pi4 \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n e^{2inx}}{n}\ \text{d} x\] e da qui tutto il resto scambiando sommatoria e integrale fino a quel risultato. Nella quasi-convinzione di aver fatto bene i calcoli mi chiedo come risolvere questo dilemma: che si debba trascurare la parte immaginaria del risultato? o è l'idea o i calcoli che sono sbagliati?

[dissonance]

E ma quando fai il logaritmo di un numero complesso devi stare più attento. Il logaritmo complesso non è una funzione univoca e se lo maneggi troppo alla leggera facilmente vai a finire in risultati assurdi.

[pilloeffe]

Ciao Bianco17,

Eh beh, ha ragione dissonance...
A me torna quanto segue:

$I=\int_0^{\pi/4} ln(tan x) \text{d}x = - G = $
$ = 2\sum_{n=0}^{+\infty} 1/((4n+3)^2) - \pi^2/8 = $
$ = 2\sum_{n=0}^{+\infty} 1/((4n+3)^2) - 3/4 \cdot \pi^2/6 = $
$ = 2\sum_{n=0}^{+\infty} 1/((4n+3)^2) - 3/4 \zeta(2) $

[Bianco17]

Sì, in effetti, ripensandoci, era una strada molto rischiosa data la polidromia del logaritmo complesso… Però anche dai tuoi calcoli $-G$ corrisponde alla parte reale del mio risultato. Come potrei giustificare la scomparsa di quel $-\frac i8$? C'entra forse il ramo principale del logaritmo complesso…?

[pilloeffe]

Molto semplicemente, ricordando che $ln(z) = ln|z| + i arg(z) $, hai tenuto conto solo dell'argomento del primo integrale (perché sei stato in qualche modo "costretto" dal fatto che che $ln(i) = ln(1) + i\pi/2 = i\pi/2 $), ma non degli argomenti degli altri due integrali; se invece correttamente tieni conto degli argomenti di tutti e tre gli integrali, scrivendo solo gli argomenti risulta

$ i\pi^2/8 - i (3\pi^2)/32 - i \pi^2/32 = 0 $

ed ecco che "magicamente" scompare la parte immaginaria...

[dissonance]

Ci ho pensato un po', ho fatto i conti e mi ritrovo con il risultato di Bianco e di Pilloeffe, non avevo dubbi che fosse corretto. Dal punto di vista teorico, l'unico passaggio dubbio è l'uso di questa formula:
\[\tag{1}
\log\left(i\frac{1-e^{2ix}}{1+e^{2ix}}\right)= \log(i)+\log(1-e^{2ix})-\log(1+e^{2ix}).\]
Infatti, come spiegato da Wikipedia, queste formule possono non essere vere per le determinazioni del logaritmo complesso. Nel nostro caso, però, tutto va bene. Sia infatti \(\log\) la *determinazione principale* del logaritmo, data dalla formula
\[
\log z =\log|z| +i \mathrm{arg} z, \qquad \mathrm{arg}(z)\in (-\pi, \pi).\]
(Questa funzione non è definita per \(z\in \mathbb R_{\le 0}\), quando \(\arg (z)=\pi\)). Tuttavia, se \(z, w\in \mathbb C\setminus \mathbb R_{\le 0}\) verificano
\[
\arg z + \arg w \in (-\pi, \pi),\]
allora è vero che \(\log(zw)=\log z+ \log w\). Questo è abbastanza chiaro, credo, ma se volete ne possiamo riparlare e dare una dimostrazione formale.

Fatto sta che, per la (1), siamo proprio in questo caso qui. Infatti, \(\mathrm{arg}(i)=\tfrac\pi2\), mentre
\[
\mathrm{arg}(1-e^{2ix})\in (-\tfrac\pi2 , 0), \qquad \mathrm{arg}(1+e^{2ix})\in (0, \tfrac\pi2), \]
perché \(x\in (0, \tfrac\pi4)\). Quindi la somma di tutti gli argomenti appartiene a \((0, \pi)\) e non ci sono problemi nell'applicare la (1), dove per \(\log\) si intende la determinazione principale.

[Bianco17]

Mi vergogno a dirlo ma questo

"pilloeffe":hai tenuto conto solo dell'argomento del primo integrale

non è vero… Ho sbagliato nel fare le somme dei termini immaginari… Le ho riviste e mi ritrovo completamente! Tutto è bene quel che finisce bene ahah