Una serie di esercizi sui complessi
Scrivere sotto forma esponenziale i seguenti numeri complessi:
a)$z=3+isqrt3
b)$z=sqrt2-isqrt2
c)$z=sqrt3-i
d)$z=-i
e)$z=1
f)$z=i
g)$z=-2
Scrivere sotto forma algebrica i seguenti esponenziali:
a)$e^(pi/2i)
b)$e^(ln2+pi/4i)
c)$e^(-pi/3i)
d)$e^(1+i)
Applicando le formule di Eulero,provare che risulta:
a)$sen(pi/4-i)=sqrt2/4*[e+1/e-i(e-1/e)]$
b)$cos(iln2)=5/4$
c)$e^(pi/2i)=i$
d)$e^(pii)=-1$
e)$cos^3x=1/4cos(3x)+3/4cosx$
f)$cos^5x=1/16cos(5x)+5/16cos(3x)+5/8cosx$
g)$sin^3x=3/4sinx-1/4sin(3x)$
Determinare modulo e argomento dei seguenti numeri complessi:
a)$e^i;$b)$e^(2-3i)$;c)$-e^(1+i)$
Determinare parte reale e coefficiente dell'unità immaginaria dei seguenti numeri:
1)$sini,$$2)cosi,$$3)cos(3+i)$
Provare che risulta:
1)$sin(pi/2-i)=cosi$,2)$2+i=sqrt5e^((iarctg(1/2))$,3)$1+i=sqrt2e^(iarctg1)$
Risolvere in $CC$ le seguenti equazioni dandone le soluzioni sotto forma esponenziale:
a)$z^2+1=0$,b)$z^3+1=0$,c)$z^3+i=0,$d)$z^4-1=0$,e)$z^3-1-isqrt3=0$,f)$z^5-1=0$.
a)$z=3+isqrt3
b)$z=sqrt2-isqrt2
c)$z=sqrt3-i
d)$z=-i
e)$z=1
f)$z=i
g)$z=-2
Scrivere sotto forma algebrica i seguenti esponenziali:
a)$e^(pi/2i)
b)$e^(ln2+pi/4i)
c)$e^(-pi/3i)
d)$e^(1+i)
Applicando le formule di Eulero,provare che risulta:
a)$sen(pi/4-i)=sqrt2/4*[e+1/e-i(e-1/e)]$
b)$cos(iln2)=5/4$
c)$e^(pi/2i)=i$
d)$e^(pii)=-1$
e)$cos^3x=1/4cos(3x)+3/4cosx$
f)$cos^5x=1/16cos(5x)+5/16cos(3x)+5/8cosx$
g)$sin^3x=3/4sinx-1/4sin(3x)$
Determinare modulo e argomento dei seguenti numeri complessi:
a)$e^i;$b)$e^(2-3i)$;c)$-e^(1+i)$
Determinare parte reale e coefficiente dell'unità immaginaria dei seguenti numeri:
1)$sini,$$2)cosi,$$3)cos(3+i)$
Provare che risulta:
1)$sin(pi/2-i)=cosi$,2)$2+i=sqrt5e^((iarctg(1/2))$,3)$1+i=sqrt2e^(iarctg1)$
Risolvere in $CC$ le seguenti equazioni dandone le soluzioni sotto forma esponenziale:
a)$z^2+1=0$,b)$z^3+1=0$,c)$z^3+i=0,$d)$z^4-1=0$,e)$z^3-1-isqrt3=0$,f)$z^5-1=0$.
Risposte
"ENEA84":
Scrivere sotto forma esponenziale i seguenti numeri complessi:
a)$z=3+isqrt3
b)$z=sqrt2-isqrt2
c)$z=sqrt3-i
d)$z=-i
e)$z=1
f)$z=1
g)$z=-2
Scrivere sotto forma algebrica i seguenti esponenziali:
a)$e^(pi/2i)
b)$e^(ln2+pi/4i)
c)$e^(-pi/3i)
d)$e^(1+i)
Applicando le formule di Eulero,provare che risulta:
a)$sen(pi/4-i)=sqrt2/4*[e+1/e-i(e-1/e)]$
b)$cos(iln2)=5/4$
c)$e^(pi/2i)=i$
d)$e^(pii)=-1$
e)$cos^3x=1/4cos(3x)+3/4cosx$
f)$cos^5x=1/16cos(5x)+5/16cos(3x)+5/8cosx$
g)$sin^3x=3/4sinx-1/4sin(3x)$
Determinare modulo e argomento dei seguenti numeri complessi:
a)$e^i;$b)$e^(2-3i)$;c)$-e^(1+i)$
Determinare parte reale e coefficiente dell'unità immaginaria dei seguenti numeri:
1)$sini,$$2)cosi,$$3)cos(3+i)$
Provare che risulta:
1)$sin(pi/2-i)=cosi$,2)$2+i=sqrt5e^((iarctg(1/2))$,3)$1+i=sqrt2e^(iarctg1)$
Risolvere in $CC$ le seguenti equazioni dandone le soluzioni sotto forma esponenziale:
a)$z^2+1=0$,b)$z^3+1=0$,c)$z^3+i=0,$d)$z^4-1=0$,e)$z^3-1-isqrt3=0$,f)$z^5-1=0$.
Scrivere sotto forma esponenziale i seguenti numeri complessi:
a)$z=3+isqrt3$ : $z=2sqrt(3)*e^(i*(pi/6+2kpi))$ $k in ZZ$
b)$z=sqrt2-isqrt2$ : $z=2*e^(i*(-pi/4+2kpi))$ $k in ZZ$
c)$z=sqrt3-i$ : $z=2*e^(i*(-pi/6+2kpi))$ $k in ZZ$
d)$z=-i$ : $z=e^(i*(-pi/2+2kpi))$ $k in ZZ$
e)$z=1$ : $z=e^(i*2kpi)$ $k in ZZ$
f) $z=i$ :$z=e^(i*(pi/2+2kpi))$ $k in ZZ$
g)$z=-2$ : $z=2*e^(i*(pi+2kpi))$ $k in ZZ$
Scrivere sotto forma algebrica i seguenti esponenziali:
a)$e^(pi/2i)$ : $z=i$
b)$e^(ln2+pi/4i)$ : $ z=e^(ln2)*e^(i*pi/4)=2*sqrt(2)/2*(1+i)=sqrt(2)*(1+i)$
c)$e^(-pi/3i)$ : $ z=1/2-i*sqrt(3)/2$
d)$e^(1+i)$ : $z=e*(cos1+i*sin1)$
Applicando le formule di Eulero,provare che risulta:
a)$sen(pi/4-i)=sqrt2/4*[e+1/e-i(e-1/e)]$
$sen(pi/4-i)=(e^(i*(pi/4-i))-e^(-i*(pi/4-i)))/(2i)=(e*e^(i*pi/4)-e^(-1)*e^(-i*pi/4))/(2i)$=
$(e*sqrt(2)/2*(1+i)-e^(-1)*sqrt(2)/2*(1-i))/(2i)=sqrt(2)/4*[e*(1+i)-e^(-1)*(1-i)]*(-i)$=
$sqrt(2)/4*[(e+e^(-1))-i*(e-e^(-1))]$
b)$cos(iln2)=5/4$: $ z=(e^(i*(i*ln2))+e^(-i*(i*ln2)))/2=(e^(-ln2)+e^(ln2))/2=(1/2+2)/2=5/4$
c)$e^(pi/2i)=i$ : $z=i*sin(pi/2)=i$
d)$e^(pii)=-1$: $ z=cos(pi)=-1$
e)$cos^3x=1/4cos(3x)+3/4cosx$
$cosx=(e^(i*x)+e^(-i*x))/2$ per cui
$cos^3x=1/8(e^(i*x)+e^(-i*x))^3=1/8(e^(i*3x)+e^(-i*3x)+3*e^(i*x)+3*e^(-i*x))=1/8*[2cos(3x)+6cosx]$=
$1/4*cos3x+3/4*cosx$
f)$cos^5x=1/16cos(5x)+5/16cos(3x)+5/8cosx$
$cos^5x=1/32*(e^(i*x)+e^(-i*x))^5=1/32*(e^(i*5x)+5*e^(i*3x)+10*e^(i*x)+10e^(-i*x)+5*e^(-i*3x)+e^(-i*5x))$
=$1/32*[e^(i*5x)+e^(-i*5x)+5*e^(i*3x)+5*e^(-i*3x)+10*e^(i*x)+10e^(-i*x)]=1/32*[2cos(5x)+10cos(3x)+20cos(x)]$=
$1/16*cos(5x)+5/16*cos(3x)+5/8*cos(x)$
g)$sin^3x=3/4sinx-1/4sin(3x)$
$sin^3x=((e^(i*x)-e^(-i*x))/(2i))^3=-1/(8i)*(e^(i*3x)-e^(-i*3x)-3*e^(i*x)-3*e^(-i*x)}=-1/8*[2sin(3x)-6sinx]$=
$-1/4*sin3x+3/4*sinx$
Determinare modulo e argomento dei seguenti numeri complessi:
a)$e^i$: $|z|=1,arg(z)=1$
b)$e^(2-3i)$: $|z|=e^2,arg(z)=-3$
c)$-e^(1+i)$: $|z|=e,arg(z)=pi+1$
Determinare parte reale e coefficiente dell'unità immaginaria dei seguenti numeri:
1)$sini=1/(2i)*(e^(-1)-e)=1/2*(e-e^(-1))*i$ per cui $Re{z}=0,Im{z}=1/2*(e-e^(-1))$
$2)cosi=1/2*(e^(-1)+e)$ per cui $Im{z}=0,Re{z}=1/2*(e+e^(-1))$
$3)cos(3+i)=1/2*cos3*(e+e^(-1))+1/2*sin3*(e^(-1)-e)*i$
Provare che risulta:
1)$sin(pi/2-i)=cosi$,banale perchè in $CC$ valgono le formule che valgono in $RR$ cioè $sin(pi/2-z)=cosz$
2)$2+i=sqrt5e^((iarctg(1/2))$ è la forma esponenziale di $z=|z|*e^(i*arg(z))$
3)$1+i=sqrt2e^(iarctg1)$ è la forma esponenziale di $z=|z|*e^(i*arg(z))$
Risolvere in $CC$ le seguenti equazioni dandone le soluzioni sotto forma esponenziale:
a)$z^2+1=0$ per de moivre $z=e^(i*1/2*(pi+2kpi))$ $k=0,1$
b)$z^3+1=0$ per de moivre $z=e^(i*1/3*(pi+2kpi))$ $k=0,1,2$
c)$z^3+i=0$ per de moivre $z=e^(i*1/3*(-pi/2+2kpi))$ $k=0,1,2$
d)$z^4-1=0$ per de moivre $z=e^(i*1/4*(2kpi))$ $k=0,1,2,3$
e)$z^3-1-isqrt3=0$ per de moivre $z=root(3)(2)*e^(i*1/3*(pi/3+2kpi))$ $k=0,1,2$
f)$z^5-1=0$ per de moivre $z=e^(i*1/5*(2kpi))$ $k=0,1,2,3,4$
spero di non aver commesso errori
"nicasamarciano":
Scrivere sotto forma esponenziale i seguenti numeri complessi:
a)$z=3+isqrt3$ : $z=2sqrt(3)*e^(i*(pi/6+2kpi))$
Da dove spunta $2sqrt3$?
"ENEA84":
[quote="nicasamarciano"]Scrivere sotto forma esponenziale i seguenti numeri complessi:
a)$z=3+isqrt3$ : $z=2sqrt(3)*e^(i*(pi/6+2kpi))$
Da dove spunta $2sqrt3$?[/quote]
è il modulo di $z$ cioè $|z|=sqrt(9+3)=sqrt(12)=2sqrt(3)$.
li ho finiti a svolgere e stanno tutti nel post precedente
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