Una serie aleatoria
Sia $(X_n)_(n>=2)$ una successione di variabili aleatorie indipendenti tali che
$P(X_n=1)=1/n$
$P(X_n=-1)=1/n^2$
$P(X_n=0)=1-1/n-1/n^2$
Qual è la probabilità che la serie $sum_(n=2)^(+infty)X_n$ converga?
Suggerimento:
applicare i lemmi di Borel-Cantelli
$P(X_n=1)=1/n$
$P(X_n=-1)=1/n^2$
$P(X_n=0)=1-1/n-1/n^2$
Qual è la probabilità che la serie $sum_(n=2)^(+infty)X_n$ converga?
Suggerimento:
applicare i lemmi di Borel-Cantelli
Risposte
Non diverge con probabilità 1?
Eh già, se vuoi puoi spiegare il ragionamento.
diverge la somma dei valori medi:
$sum_(n=2)^(infty)1/n-1/n^2$
quindi per la legge dei grandi numeri la successione diverge in probabilità
$sum_(n=2)^(infty)1/n-1/n^2$
quindi per la legge dei grandi numeri la successione diverge in probabilità
Scusa, ma non ho capito quale legge dei grandi numeri hai applicato, anche perchè le variabili sono indipendenti ma non identicamente distribuite.
La legge debole dei grandi numeri:
Se $(X_n)_n>1$ è una successione di v.a a due a due non correlate con $E(X_i)=m_i$ e $V(X_i)
dove $S_N=sum_(n=1)^(N)X_n$
Se $(X_n)_n>1$ è una successione di v.a a due a due non correlate con $E(X_i)=m_i$ e $V(X_i)
dove $S_N=sum_(n=1)^(N)X_n$
Ok.
In realtà io intendevo (sono stato molto impreciso) di studiare la convergenza quasi certa della serie.
Si dimostra, più tardi lo faccio vedere, che la serie non solo diverge in probabilità come cubalibre ha mostrato, ma anche quasi certamente.
In realtà io intendevo (sono stato molto impreciso) di studiare la convergenza quasi certa della serie.
Si dimostra, più tardi lo faccio vedere, che la serie non solo diverge in probabilità come cubalibre ha mostrato, ma anche quasi certamente.
Volendo si poteva usare anche il teorema centrale: anzi io in realtà avevo usato questo teorema.
Per $N->infty S_N->N(sum_(i=2)^(N)m_i , sum_(i=2)^(N)V(X_i))
Quindi all'infinito la probabilità che $S_N$ diverga è 1.
Per $N->infty S_N->N(sum_(i=2)^(N)m_i , sum_(i=2)^(N)V(X_i))
Quindi all'infinito la probabilità che $S_N$ diverga è 1.
Facciamo vedere tramite i lemmi di Borel-Cantelli che la serie diverge quasi certamente.
Sia data una successione di eventi $A_n$ indipendenti. Allora la probabilità che si verifichino infiniti di tali eventi è 0 se $sum_nP(A_n)$ converge, è 1 se $sum_nP(A_n)$ diverge. (Lemmi di Borel-Cantelli)
$sum_n^(+infty)P(X_n=1)=sum_n1/n=+infty =>X_n=1$ per infiniti $n$ con probabilità 1;
$sum_n^(+infty)P(X_n=-1)=sum_n1/n^2<+infty =>X_n=1$ per infiniti $n$ con probabilità 0.
Da questo segue che $sum_nX_n=+infty$ quasi certamente, cioè con probabilità 1.
Una interessante applicazione dei lemmi di Borel-Cantelli è il paradosso della scimmia.
Si verifica facilmente che la probabilità che una scimma, scrivendo a caso con una macchina da scrivere, scriva per infinite volte l'Amleto è 1.
Sia data una successione di eventi $A_n$ indipendenti. Allora la probabilità che si verifichino infiniti di tali eventi è 0 se $sum_nP(A_n)$ converge, è 1 se $sum_nP(A_n)$ diverge. (Lemmi di Borel-Cantelli)
$sum_n^(+infty)P(X_n=1)=sum_n1/n=+infty =>X_n=1$ per infiniti $n$ con probabilità 1;
$sum_n^(+infty)P(X_n=-1)=sum_n1/n^2<+infty =>X_n=1$ per infiniti $n$ con probabilità 0.
Da questo segue che $sum_nX_n=+infty$ quasi certamente, cioè con probabilità 1.
Una interessante applicazione dei lemmi di Borel-Cantelli è il paradosso della scimmia.
Si verifica facilmente che la probabilità che una scimma, scrivendo a caso con una macchina da scrivere, scriva per infinite volte l'Amleto è 1.
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