Una questione di estensioni continue

[Sk_Anonymous]

Sono confuso da un problema che mi è saltato fuori di recente. Supponiamo di avere una funzione \(f \in C^1( (0,+\infty);\mathbb{R})\) tale che \[0\le \liminf_{x \to 0^+} f(x)\]e che \[\lim_{x \to 0^+} f'(x)=0=f'(0^+)\](nel senso che la funzione derivata prima è continua da destra in \(x=0\)). Possiamo dire qualcosa di \[\lim_{x \to 0^+}f(x) \ ?\]

[Bremen000]

A naso (ma molto a naso) direi che si può concludere che il limite esiste ed è negativo. Poi bisogna pensare a come fare...

[Sk_Anonymous]

Negativo?

[Bremen000]

Si vabbè ciao, volevo scrivere "non negativo".

[Bremen000]

Anche se non so se è quello che ti serve, un modo per dimostrare quello che ho scritto può essere questo anche se mi sembra brutto:

Sia
\[ g(x) = \begin{cases} f'(x) \quad & x>0 \\ 0 \quad & x=0 \end{cases} \]

allora \( g \in C^0 ([0,1]) \) e quindi è ben definito il numero \( M:= \int_0^1 g(t)dt \).

Per il TFC vae

\[ M = \int_0^1 g(t)dt = \lim_{x \to 0^+} \int_x^1 f'(t) dt = f(1) - \lim_{x \to 0^+} f(x) \Rightarrow \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(1)-M \]

dunque il limite esiste ed è finito, poi dalla condizione sul \( \liminf \) sai che è non negativo.

Ma non so se (anzi, non credo sia) questo quello che ti domandavi...

[Sk_Anonymous]

In realtà questo mi basta, grazie, ma mi rimane la curiosità sull'eventuale possibilità di avere un'estensione continua di \(f \); sono relativamente scettico a riguardo, ma non sono riuscito a trovare un controesempio.

[Bremen000]

Cioè dici trovare una $F$ continua definita su tutto $RR$ che coincida con $f$ in \( (0, +\infty) \)?

[otta96]

Ma se Bremen ha dimostrato che il limite di $f$ a $0$ esiste finito basta definirla in $0$ come il valore del limite , no?

[Sk_Anonymous]

"Bremen000":Cioè dici trovare una $F$ continua definita su tutto $RR$ che coincida con $f$ in \( (0, +\infty) \)?

Mi basta che sia definita in \( [0, +\infty )\), ma credo di aver capito: restringiamoci a \( (0,1] \) (quello che succede all'infinito di fatto non mi interessa). Dalla continuità di \( f' \) su \( [0,1]\) chiamo \( M= \max_{[0,1]} |f'| \); allora \( f \) è (almeno) \(M\)-Lipschitziana in ogni \( [\delta,1]\) con \( \delta > 0 \) arbitrario. Ne segue che \(f\) è \(M\)-Lipschitziana in \((0,1]\)[nota]Dimostrazione: siano \( x,y \in (0,1]\). Allora esiste \( \delta=\delta(x,y) >0\) tale che \( x,y \in [\delta,1]\). Ne segue che \[|f(x)-f(y)| \le M |x-y|.\][/nota], ed in particolare è ivi uniformemente continua. Allora esiste un'unica estensione continua \(\tilde{f}\) di \(f\) su \( \overline{(0,1]} = [0,1]\) con \( \tilde{f}_{|_{(0,1]}}=f\) (questo è un teorema classico di estensione che però credo non abbia un nome). Di conseguenza, se non sono scemo (assunzione non banale), \[ \lim_{x \to 0^+} f(x) = \tilde{f} (0). \]

Diciamo che non avevo formulato la domanda in modo chiaro, sono stato troppo pigro per mettermi a pensare seriamente...

"otta96":Ma se Bremen ha dimostrato che il limite di $f$ a $0$ esiste finito basta definirla in $0$ come il valore del limite , no?

Sì, vero!