Una proprietà delle equazioni autonome
Considerate il sistema autonomo $y'=f(y)$.
Prendiamo $f \in C^1(\RR)$, così da avere esistenza e unicità locali per ogni scelta del dato iniziale $(t_0, y_0) \in RR^2$. Ora fissato un tale dato, consideriamo una soluzione del problema di Cauchy e chiamiamola $\bar y$. Sia $I_{\max}=(\alpha, \omega)$ l'intervallo massimale di definizione della soluzione $\bar y$.
Dalla teoria so che il limite per $t \to \omega^-$ esiste sicuramente (per monotonia: le soluzioni di un sistema autonomo sono monotone sul loro intervallo di definizione).
Sia $\omega = +\infty$. Due sono i casi:
Prendiamo $f \in C^1(\RR)$, così da avere esistenza e unicità locali per ogni scelta del dato iniziale $(t_0, y_0) \in RR^2$. Ora fissato un tale dato, consideriamo una soluzione del problema di Cauchy e chiamiamola $\bar y$. Sia $I_{\max}=(\alpha, \omega)$ l'intervallo massimale di definizione della soluzione $\bar y$.
Dalla teoria so che il limite per $t \to \omega^-$ esiste sicuramente (per monotonia: le soluzioni di un sistema autonomo sono monotone sul loro intervallo di definizione).
Sia $\omega = +\infty$. Due sono i casi:
[*:za0wcuyg] il $lim_{t \to +\infty} \bar y(t)=+\infty$; [/*:m:za0wcuyg]
[*:za0wcuyg] se invece $lim_{t \to +\infty} \bar y(t)= l \in \RR$, allora necessariamente $l$ è uno zero di $f$, $f(l)=0$.[/*:m:za0wcuyg][/list:u:za0wcuyg]
Che cosa possiamo dire se invece $\omega < +infty$? Mi sono convinto che necessariamente [tex]\lim_{t \to \omega^-} \vert \bar y(t)\vert =+\infty[/tex] ma non saprei bene come dimostrarlo. Secondo voi, è vero?
Questo corrisponderebbe a dire che ogni soluzione di un sistema autonomo non prolungabile su tutta la retta necessariamente esplode in un tempo finito.
Vi ringrazio per la collaborazione.
Risposte
Secondo me la cosa è vera e neanche dipende dal fatto che il sistema sia autonomo (tra parentesi, stai parlando di sistema ma ti stai riferendo ad una sola equazione, anche se quanto segue vale pure per sistemi). E' una conseguenza del teorema di esistenza e unicità locale: (il grafico de) la soluzione deve abbandonare definitivamente ogni sottoinsieme compatto dello spazio degli eventi (=lo spazio \(\text{intervallo temporale} \times \text{spazio degli stati}\)). In particolare, in prossimità del tempo \(\omega\) devi avere un fenomeno di blow up (spero si dica così).
La dimostrazione non credo sia particolarmente difficile, si tratta solo di formalizzare l'idea intuitiva. Comunque, posti su cui trovare maggiori informazioni sono:
[list=1][*:12rm465d]Analisi matematica 2 di Pagani e Salsa; [/*:m:12rm465d]
[*:12rm465d]Una dispensa di ODE e sistemi dinamici, come ad esempio quella di Berti che citano sempre i napoletani oppure questa qua di Vitali:
http://www-dimat.unipv.it/vitali/segue/ ... ction=site ;[/*:m:12rm465d]
[*:12rm465d]etc etc (
).[/*:m:12rm465d][/list:o:12rm465d]
La dimostrazione non credo sia particolarmente difficile, si tratta solo di formalizzare l'idea intuitiva. Comunque, posti su cui trovare maggiori informazioni sono:
[list=1][*:12rm465d]Analisi matematica 2 di Pagani e Salsa; [/*:m:12rm465d]
[*:12rm465d]Una dispensa di ODE e sistemi dinamici, come ad esempio quella di Berti che citano sempre i napoletani oppure questa qua di Vitali:
http://www-dimat.unipv.it/vitali/segue/ ... ction=site ;[/*:m:12rm465d]
[*:12rm465d]etc etc (
).[/*:m:12rm465d][/list:o:12rm465d]
"dissonance":
...un fenomeno di blow up (spero si dica così)...
Una dispensa di ODE e sistemi dinamici, come ad esempio quella di Berti che citano sempre i napoletani...
Confermo tutta la parte tecnica e the English (confermatomi anche durante la prova orale per l'ammissione alla S.I.S.S.A.).
Viva Napoli
Come ha già osservato dissonance, si tratta di una proprietà generale delle soluzioni massimali.
Sia $f:\Omega\to\RR^n$ continua nell'aperto $\Omega\subset\RR^{n+1}$ e localmente Lip. in $y$ unif. rispetto a $t$, e sia $(t_0, y_0)\in\Omega$.
Allora esiste un'unica soluzione massimale del P.d.C. $y: (\alpha, \omega)\to\RR^n$; inoltre, o $\omega=+\infty$ oppure
\[ \lim_{t\to\omega^-} \left( |y(t)| + \frac{1}{d((t,y(t)), \partial\Omega)}\right) = +\infty\]
(analogamente $\alpha=-\infty$ oppure...).
Qui $d(z,\partial\Omega)$ indica la distanza di un punto $z\in\Omega$ dal bordo di $\Omega$.
Sia $f:\Omega\to\RR^n$ continua nell'aperto $\Omega\subset\RR^{n+1}$ e localmente Lip. in $y$ unif. rispetto a $t$, e sia $(t_0, y_0)\in\Omega$.
Allora esiste un'unica soluzione massimale del P.d.C. $y: (\alpha, \omega)\to\RR^n$; inoltre, o $\omega=+\infty$ oppure
\[ \lim_{t\to\omega^-} \left( |y(t)| + \frac{1}{d((t,y(t)), \partial\Omega)}\right) = +\infty\]
(analogamente $\alpha=-\infty$ oppure...).
Qui $d(z,\partial\Omega)$ indica la distanza di un punto $z\in\Omega$ dal bordo di $\Omega$.
Ragazzi, scusatemi, non mi sono dimenticato di questo thread; purtroppo, non sono riuscito nella scorsa settimana a trovare il tempo necessario per leggere con calma i vostri interventi e approfondire la questione. Appena ho un attimo, ci penso e vediamo di chiudere la questione per bene.
Grazie mille
Grazie mille
Rieccomi qui. Allora innanzitutto vi ringrazio ancora per le vostre risposte.
Ora veniamo alla Matematica.
Per prima cosa, devo precisare una cosa: il thread era nato con la stessa domanda sui sistemi di equazioni, poi mi sono corretto e ho trattato dapprima il caso di una sola equazione. Vi sarete chiesti il perchè: ebbene, se ho un'equazione autonoma so che tutte le sue soluzioni sono monotone sul loro $I_max$: quindi, in particolare, esistono i limiti agli estremi.
Nel caso di un sistema, chi mi garantisce che i limiti esistano? Devo dimostrare separatamente anche quello, no?
Non credo di aver afferrato bene quanto dici, caro dissonance. Mi stai dicendo che se $omega$ è finito, allora il grafico della soluzione presenta un asintoto verticale per $t \to \omega$?
Ma siamo sicuri? Secondo me non è sempre vero: metti che il secondo membro di $u'=f(t,u)$ sia continuo e loc. lipschitziano solo su un insieme "piccolo" $U$ di $RR^2$, ad esempio su $x>x_1$, con $x_1$ reale fissato. La soluzione massimale del PdC con dato iniziale $(t_0, x_0)$ potrebbe andare a "schiantarsi" contro il bordo dell'aperto $U$, no?
Tra l'altro, grazie per i riferimenti bibliografici, ma purtroppo sul PS non ho trovato quanto faceva al caso mio. Conoscevo già le note di Berti e di Vitali, ora provo a dare uno sguardo e vedere se trovo qualcosa in merito.
@ Rigel: il risultato di cui parli mi è nuovo e mi pare molto interessante. Nonostante ci abbia pensato un po' su, non l'ho ancora digerito del tutto e soprattutto non ho ancora capito come fare per dimostrarlo: mi dai un'idea, per piacere?
Vi ringrazio.
Ora veniamo alla Matematica.
Per prima cosa, devo precisare una cosa: il thread era nato con la stessa domanda sui sistemi di equazioni, poi mi sono corretto e ho trattato dapprima il caso di una sola equazione. Vi sarete chiesti il perchè: ebbene, se ho un'equazione autonoma so che tutte le sue soluzioni sono monotone sul loro $I_max$: quindi, in particolare, esistono i limiti agli estremi.
Nel caso di un sistema, chi mi garantisce che i limiti esistano? Devo dimostrare separatamente anche quello, no?
"dissonance":
E' una conseguenza del teorema di esistenza e unicità locale: (il grafico de) la soluzione deve abbandonare definitivamente ogni sottoinsieme compatto dello spazio degli eventi (=lo spazio \(\text{intervallo temporale} \times \text{spazio degli stati}\)). In particolare, in prossimità del tempo \(\omega\) devi avere un fenomeno di blow up (spero si dica così).
Non credo di aver afferrato bene quanto dici, caro dissonance. Mi stai dicendo che se $omega$ è finito, allora il grafico della soluzione presenta un asintoto verticale per $t \to \omega$?
Ma siamo sicuri? Secondo me non è sempre vero: metti che il secondo membro di $u'=f(t,u)$ sia continuo e loc. lipschitziano solo su un insieme "piccolo" $U$ di $RR^2$, ad esempio su $x>x_1$, con $x_1$ reale fissato. La soluzione massimale del PdC con dato iniziale $(t_0, x_0)$ potrebbe andare a "schiantarsi" contro il bordo dell'aperto $U$, no?
Tra l'altro, grazie per i riferimenti bibliografici, ma purtroppo sul PS non ho trovato quanto faceva al caso mio. Conoscevo già le note di Berti e di Vitali, ora provo a dare uno sguardo e vedere se trovo qualcosa in merito.
@ Rigel: il risultato di cui parli mi è nuovo e mi pare molto interessante. Nonostante ci abbia pensato un po' su, non l'ho ancora digerito del tutto e soprattutto non ho ancora capito come fare per dimostrarlo: mi dai un'idea, per piacere?
Vi ringrazio.
Puoi trovare la dim. nel libro di Bressan-Piccoli, "Introduction to the mathematical theory of control", Thm. 2.1.4.
Grazie mille, appena mi è possibile vedrò di procurarmene una copia.
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