Una particolare disequazione

[nitidoz]

Mi trovo a dover risolvere la seguente disequazione:
\[\left| {\sin 2x} \right| < \tan \left| x \right|\]
quindi se faccio \[f(x) = \left| {\sin 2x} \right|\] ed \[g(x) = \tan \left| x \right|\] bisogna dire quando \[f(x) < g(x)\].
Essendo due funzioni periodiche possiamo restringere il campo ad \[[0,\pi ]\].
Nel domino della tangente è discontinua in \[x = \pi /2\] e quindi escludiamo questo valore.
Nel tratto \[[\pi /2,\pi ]\] la tangente è sempre negativa quindi restringiamo ulteriormente il campo ad \[[0,\pi /2[\].

Come faccio a dire che la disequazione vale per \[[ - \sin 2x = \tan x,\pi /2[\]...è giusto il mio modo di procedere?

[gio73]

"nitidoz":Mi trovo a dover risolvere la seguente disequazione:
\[\left| {\sin 2x} \right| < \tan \left| x \right|\]


Come faccio a dire che la disequazione vale per \[[ - \sin 2x = \tan x,\pi /2[\]...è giusto il mio modo di procedere?

Ciao nitidoz, non capisco il tuo ultimo passaggio; all'inizio ti poni la domanda: per quali valori di x il seno del doppio di x è minore della tangente del valore assoluto di x, la risposta dovrebbe essere un intervallo per dire x compreso tra questi valori, poi magari è un intervallo che si ripete regolarmente, ma rispondere con un'equazione e un valore non lo capisco...

Ora provo a risolvere il tuo problema poi ti dico come ho ragionato e vediamo se è corretto, mi sembra di capire che tu volessi seguire un metodo grafico, giusto?

[gio73]

ciao nitidoz, ho lavorato un po' per te: prima ti dico i risultati che mi sono venuti poi se ti sembrano ragionevoli (ma potrei aver fatto errori grossolani!) ti spiego il procedimento che ho seguito (metodo grafico).
Allora ricordiamo la domanda: per quali valori di x il seno del doppio di x è minore della tangente del valore assoluto di x.
Risposta: quando x è compresa tra, ma passiamo ai simboli è meglio! $-pi/2

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[nitidoz]

Non hai sbagliato perchè la tua risposta è uguale a quella dell'esercizio... cortesemente gio73 mi dici come hai fatto a calcolarti pigreco/4?
Solo per via grafica, come ho fatto io? Oppure ci sta qualche oscuro meccanismo come ad esempio risolvere con opportune restrizioni l'equazione $ |sin 2x| =tan |x| $?
Grazie!

[gio73]

Meno male che non ho fatto errori!
Allora comincio a dirti i vari passi che ho fatto poi mi dici se andare avanti:
ho disegnato il grafico di $|sen2x|$, anche a te viene una specie di cornicetta curva che vale 0 in x=0, $pi/2$, $pi$ eccetera e 1 in x=$pi/4$, $3/4pi$ eccetera? insomma sembrano i salti di una pulce che non supera un'asta alta 1?
Se si dimmi come hai disegnato la seconda curva, così facciamo l'esercizio insieme

[nitidoz]

ciao gio73, scusa per il ritardo guarda ho risolto così...pero mi dici come fai a dire che quello li è pigreco/4? grazie!

[gio73]

Ciao Nitidoz, sì il grafico è quello lì, allora la ttiro un po' per le lunghe per vedere di farti capire meglio...
se avessi dovuto disegnare il grafico a mano avresti dovuto farti una tabella con i valori da sostituire alla x e vedere quale y ne usciva fuori per piazzare un po' di punti strategici in modo da poter tracciare il grafico, avresti dunque scelto dei numeri tipo $pi/6$, $pi/4$, $pi/3$ eccetera perchè sono angoli di cui conosci facilmente il seno e la tangente, giusto?
Allora ti saresti accorto che $sen 2*pi/4=tg*pi/4$ cioè 1 , ti saresti accorto che era conveniente piazzare sull'asse orizzontale tutti multipli di $pi/4$, cioè: $pi/2$, $3/4pi$, $pi$ eccetera e i corrispondenti negativi e il problema si risolveva da solo.
Avrei ora da porti una domanda sulla continuità e derivabilità della funzione $|sen2x|$ nei punti $pi/2$ eccetera, per intenderci quelli dove "rimbalza" sull'asse x. Secondo me è continua ma posso dire che è anche derivabile? Ciao!

[jitter1]

Ciao Nitidoz e Gio, il metodo grafico era richiesto nell'esercizio? Siccome c'è un modulo nell'argomento della tangente, per non considerarlo "insignificante" sceglierei l'intervallo [\( \displaystyle -\pi,\pi \)].

1° caso: intervallo \( \displaystyle {\left[{0},\frac{\pi}{{2}}\right]} \)

2 sinx cosx < tgx

2 senx cosx - $(senx)/cosx$ < 0
$((senx)/cosx)(2 cos^2x - 1) < 0 $

Siccome la tangente è sempre positiva in questo intervallo,
$ 2 cos^2x - 1 < 0 $
$- sqrt(2)/2 < cosx < sqrt(2)/2 $
$ pi/4 < x < pi/2 $ (in questo intervallo)

2° caso: ecc.

Ok? O era un'altra cosa che chiedevi?

[gio73]

Non so se il metodo grafico fosse richiesto dall'esercizio, ma è il mio modo di pensare: visto che faccio parecchi errori di distrazione nei conti sento sempre il bisogno di una conferma di altro tipo; tracciare il grafico mi è utile e poi è anche un'abitudine: al liceo tantissimi esercizi recitavano "risolvi algebricamente e graficamente..."
Cosa mi dici riguardo la derivabilità della funzione $f(x)=|sen2x|$ nei punti di tangenza con l'asse delle ascisse?

[jitter1]

A me non viene derivabile, ma dimmi che ne pensi...

x = 0, $\pi/2"$....
Facciamo con x = 0.

1) $ lim_(x -> 0^+) (|sen 2x| - |sen 0|)/(x - 0) = (sen 2x)/x = 2 $

2) $ lim_(x -> 0^-) (|sen 2x| - |sen 0|)/(x - 0) = - (sen 2x)/x = - 2 $

Calcolando invece il valore della ipotetica derivata:
f'(x) = 2 cos2x = 2 nell'intorno positivo di x, ma... ohi ohi.... che succede... mi aspettavo 2 risultati diversi... Aspetta che vado a girare le carote...
Forse ho sbagliato il calcolo della derivata del valore assoluto, ora rivedo come si fa.

[jitter1]

La domanda quindi sarebbe: se una funzione f(x) cambia segno in un intorno di x in cui f(x) = 0, la derivata di $ |f(x)| $ in x non esiste?

[jitter1]

Ora prima penso e poi posto, altrimenti scrivo 300 messaggi. Comunque, credo non avrei potuto scrivere che $ f'(x) = 2 cos2x $ , perché la funzione col valore assoluto non è derivabile se cambia segno nell'intorno di x in cui f(x) = 0.
Questo perché (ponendo il caso in cui f(x) è positiva nell'intorno destro di $x_0$ e negativa nel sinistro):

$ lim_(x -> (x_0)^+) (|f(x)| - f(x_0))/(x - x_0)$ = $f(x)/(x - x_0)$

ma

$ lim_(x -> (x_0)^-) (|f(x)| - f(x_0))/(x - x_0)$ = $- f(x)/(x - x_0)$

I due limiti sono diversi a a meno che non sia f(x) = cost = 0. Quindi la funzione, in generale, non è derivabile .

E' giusto questo ragionamento?

[gio73]

"jitter":A me non viene derivabile, ma dimmi che ne pensi...

x = 0, $\pi/2"$....
Facciamo con x = 0.

1) $ lim_(x -> 0^+) (|sen 2x| - |sen 0|)/(x - 0) = (sen 2x)/x = 2 $

2) $ lim_(x -> 0^-) (|sen 2x| - |sen 0|)/(x - 0) = - (sen 2x)/x = - 2 $

Calcolando invece il valore della ipotetica derivata:
f'(x) = 2 cos2x = 2 nell'intorno positivo di x, ma... ohi ohi.... che succede... mi aspettavo 2 risultati diversi... Aspetta che vado a girare le carote...Forse ho sbagliato il calcolo della derivata del valore assoluto, ora rivedo come si fa.

La questione delle carote non mi è chiara...
Ad ogni modo, anche secondo me la derivata di $f(x)=sen2x$ è $f'(x)= 2cos2x$, ma con il valore assoluto quando la nostra funzione dovrebbe essere negativa è positiva e quindi dobbiamo considerare la funzione opposta $f(x)=-sen2x$ la cui derivata è $f'(x)=-2cos2x$ e la questione con il rapporto incrementale torna, mi pare. Per concludere direi che la nostra funzione è continua nei piunti di tangenza con l'asse x ma non è in quei punti derivabile, sono punti "angolosi", giusto?
I valori assoluti creano sempre dei punti angolosi? Su questa affermazione sarei più cauta. Grazie comunque dell'interessamento.

[gio73]

"jitter":La domanda quindi sarebbe: se una funzione f(x) cambia segno in un intorno di x in cui f(x) = 0, la derivata di $ |f(x)| $ in x non esiste?

Proviamo a vedere cosa succede a $f(x)=|x^3|$?

[jitter1]

E' vero Gio, è come dici. La $ |x^3| $ (ometto i calcoli) mi viene derivabile anche in x = 0, dove c'è un minimo: quindi l'affermazione sulla derivata che non esiste era sbagliata!
Ciao