Una misura astratta $\sigma$-additiva

[DavideGenova1]

Ciao, amici! Trovo sugli Elementi di teoria delle funzioni e di analisi funzionale di Kolmogorov e Fomin (p. 274 qui) il seguente lemma

"Kolmogorov e Fomin":Sia $X$ uno spazio [un insieme, suppongo, senza connotazioni di tipo geometrico, nonostante anche nell'originale russo si abbia пространство 'spazio' e non множество 'insieme'] e $\mathfrak{M}$ un $\delta$-anello di suoi sottoinsiemi. L'insieme $A\subset X$ si dice misurabile rispetto a $\mathfrak{M}$ se $A\cap B\in\mathfrak{M}$ per ogni $B\in\mathfrak{M}$. È facile provare che il sistema $\mathfrak{A}$ degli insiemi misurabili rispetto a $\mathfrak{M}$ è la $\sigma$-algebra di unità $X$ [nel senso di una $\sigma$-algebra, direi, ché non vedo perché non si possano costruire altre $\sigma$-algebre di sottoinsiemi di $X$].

che sono riuscito a dimostrare a me stesso, eccetto per quell'articolo che interpreterei più come indeterminativo che determinativo: in effetti in russo non esistono articoli e potrebbe essere una traduzione un po' fuorviante (chi non ha mai usato il Kolmogorov-Fomin capirà adesso che cosa intendo quando dico che bisogna fare i filologi per capirlo).

Usando la definizione di misurabilità rispetto a $\mathfrak{M}$ di questo lemma si enuncia quanto segue:

"Kolmogorov e Fomin":Ora in $X$ sia data una misura $\sigma$-additiva $\mu$ che [...] possiamo già supporre prolungata a un certo $\delta$-anello $\mathfrak{M}$, e $\mathfrak{A}$ sia il sistema degli insiemi di $X$ misurabili rispetto a $\mathfrak{M}$. L'insieme $A\in\mathfrak{A}$ si dice insieme nullo se \(\mu(A\cap B)=0\) per ogni $B\in\mathfrak{M}$. Ora, la misura \(\tilde{\mu}\) (suscettibile di assumere in generale anche valori infiniti) si definisce in $\mathfrak{A}$ nel seguente modo: se per un dato $A\in\mathfrak{A}$ esiste un $B\in\mathfrak{M}$ tale che \(A\triangle B\) sia l'insieme nullo, allora poniano\[\tilde{\mu}(A)=\mu(B).\]Per tutti gli altri $A\in\mathfrak{A}$ poniamo\[\tilde{\mu}(A)=\infty.\]È facile verificare che la misura \(\tilde{\mu}\) è $\sigma$-additiva e sul $\delta$-anello $\mathfrak{M}\subset\mathfrak{A}$ coincide con $\mu$.

Qualcuno -so che il Kolmogorov-Fomin è un testo molto usato ed apprezzato- capisce perché \(\tilde{\mu}\) è $\sigma$-additiva?

A dire il vero non capisco neanche se la misura $\tilde{\mu}$ sia univocamente determinata: se \(\exists B_1,B_2\in\mathfrak{M}:\forall B\in\mathfrak{M}\quad\mu((A\triangle B_1)\cap B)=0=\mu((A\triangle B_2)\cap B)\), allora \(\mu(B_1)=\mu(B_2)\)? Se sì, come si può dimostrare?

$\infty$ grazie a tutti!!!

[dissonance]

Le notazioni sono complicate e astruse, ma l'idea mi pare semplice. Se un insieme \(A\) è uguale ad un insieme misurabile \(B\), a parte un pezzettino di misura nulla, allora possiamo dichiarare che la misura di \(A\) è uguale alla misura di \(B\) senza fallo. Se poi risulta esserci un altro insieme \(B'\) che fa lo stesso compito, poco male, visto che esso differisce da \(A\) per un insieme di misura nulla e quindi anche da \(B\) per un insieme di misura nulla.

Ora non chiedermi cosa significhi \(\delta\)-anello, \(\sigma\)-unità e tutto quel casino che ti stai sorbendo

[DavideGenova1]

Grazie per la risposta!!!

"dissonance":Le notazioni sono complicate e astruse, ma l'idea mi pare semplice. Se un insieme \( A \) è uguale ad un insieme misurabile \( B \), a parte un pezzettino di misura nulla, allora possiamo dichiarare che la misura di \( A \) è uguale alla misura di \( B \) senza fallo. Se poi risulta esserci un altro insieme \( B' \) che fa lo stesso compito, poco male, visto che esso differisce da \( A \) per un insieme di misura nulla e quindi anche da \( B \) per un insieme di misura nulla.

Intuitivamente ci sarei, se si trattasse di cose intuibili come la misura nel piano, ma qui non mi riesce proprio di vedere come, se \(\forall C\in\mathfrak{M}\quad\mu((A\triangle B)\cap C)=0\) e \(\forall C\in\mathfrak{M}\quad\mu((A\triangle B')\cap C)=0\), allora \(\mu(B)=\mu(B')\). Ho consumato mezzo blocco note cercando di applicare tutto ciò che riuscivo di proprietà di intersezioni, differenze simmetriche e della misura astratta, ma non sono giunto a nulla... se non al dubbio che la misura possa non essere neppure univocamente definita

"dissonance":Ora non chiedermi cosa significhi \( \delta \)-anello

Quello so che cos'è perché è stato definito a p. 48. Comunque non ci sarebbe più di tanto da stupirsi se la terminologia usata non fosse definita, come non definisce punto limite pur usando il termine in dimostrazioni anche delicate o come usa il termine spazio separabile per due cose diverse (per spazi topologici contenenti un insieme ovunque denso e per $T_1$-spazi topologici vettoriali).

"dissonance":quel casino

Concordo.
Meno male che è facile verificarne la $\sigma$-additività...