Una generalizzazione del Lemma di Gronwall
Salve a tutti,
avrei dei problemi nel concludere il seguente esercizio. Si tratta di una generalizzazione del lemma di Gronwall.
Tanto per cominciare riporto l'enunciato del lemma.
Lemma (di Gronwall)
Sia $I sub RR$ un intervallo, $a in I$ e $u,v:I\toRR$ funzioni continue con $u>=0$. Sia $c$ una costante $>=0$.
Allora da $v(t)<=c+ \int_a^t u(s)v(s)\ \text{d} s$ ($t>=a$) segue $v(t)<=ce^\( \int_a^t u(s)\ \text{d} s$ ($t>=a$) mentre da $v(t)<=c+ \int_t^a u(s)v(s)\ \text{d} s$ ($t<=a$) segue $v(t)<=ce^\( \int_t^a u(s)\ \text{d} s$ ($t<=a$).
Ed ecco qui la generalizzazione del lemma:
Se $k:I\to[0,+infty[$ è di classe $C^1$, da
$v(t)<=k(t)+ \int_a^t u(s)v(s)\ \text{d} s$ ($t<=a$) allora
$ v(t)<=k(a)*e^(int_(a)^(t) u(s) ds)+e^(int_(a)^(t) u(s) ds)*int_(a)^(t) e^(-int_(a)^(s)u(\xi) d\xi)k'(s) ds $
Io avevo pensato di procedere così:
FIssato un interno $n in NN-{0}$, considero il problema di Cauchy $w'=k'(t)+1/n+u(t)w, w(a)=k(a)$. Il problema di Cauchy così posto ha senso in quanto ammette soluzione.
Tale soluzione coincide con $ w(t)=k(a)*e^(int_(a)^(t) u(s) ds)+e^(int_(a)^(t) u(s) ds)*int_(a)^(t) e^(-int_(a)^(s)u(\xi) d\xi)(k'(s)+1/n) ds $. Chiamiamo $u_n$ la soluzione dipendente da $n$ di tale problema di Cauchy. A questo punto se dimostrassi che $v<=u_n$ passando al limite otterrei la tesi. Tuttavia non so perché, mi perdo in un bicchiere d'acqua; la soluzione di tale fatto è certamente banale ma non mi viene in mente!
Una domanda: il suggerimento di considerare quell'equazione differenziale "perturbata" dal termine $1/n$ a cosa è dovuto?? Forse a tenere in considerazione l'eventualità che $k'$ sia identicamente nulla??
Grazie a tutti per l'aiuto.
avrei dei problemi nel concludere il seguente esercizio. Si tratta di una generalizzazione del lemma di Gronwall.
Tanto per cominciare riporto l'enunciato del lemma.
Lemma (di Gronwall)
Sia $I sub RR$ un intervallo, $a in I$ e $u,v:I\toRR$ funzioni continue con $u>=0$. Sia $c$ una costante $>=0$.
Allora da $v(t)<=c+ \int_a^t u(s)v(s)\ \text{d} s$ ($t>=a$) segue $v(t)<=ce^\( \int_a^t u(s)\ \text{d} s$ ($t>=a$) mentre da $v(t)<=c+ \int_t^a u(s)v(s)\ \text{d} s$ ($t<=a$) segue $v(t)<=ce^\( \int_t^a u(s)\ \text{d} s$ ($t<=a$).
Ed ecco qui la generalizzazione del lemma:
Se $k:I\to[0,+infty[$ è di classe $C^1$, da
$v(t)<=k(t)+ \int_a^t u(s)v(s)\ \text{d} s$ ($t<=a$) allora
$ v(t)<=k(a)*e^(int_(a)^(t) u(s) ds)+e^(int_(a)^(t) u(s) ds)*int_(a)^(t) e^(-int_(a)^(s)u(\xi) d\xi)k'(s) ds $
Io avevo pensato di procedere così:
FIssato un interno $n in NN-{0}$, considero il problema di Cauchy $w'=k'(t)+1/n+u(t)w, w(a)=k(a)$. Il problema di Cauchy così posto ha senso in quanto ammette soluzione.
Tale soluzione coincide con $ w(t)=k(a)*e^(int_(a)^(t) u(s) ds)+e^(int_(a)^(t) u(s) ds)*int_(a)^(t) e^(-int_(a)^(s)u(\xi) d\xi)(k'(s)+1/n) ds $. Chiamiamo $u_n$ la soluzione dipendente da $n$ di tale problema di Cauchy. A questo punto se dimostrassi che $v<=u_n$ passando al limite otterrei la tesi. Tuttavia non so perché, mi perdo in un bicchiere d'acqua; la soluzione di tale fatto è certamente banale ma non mi viene in mente!
Una domanda: il suggerimento di considerare quell'equazione differenziale "perturbata" dal termine $1/n$ a cosa è dovuto?? Forse a tenere in considerazione l'eventualità che $k'$ sia identicamente nulla??
Grazie a tutti per l'aiuto.
Risposte
Faccio Up... Avrei davvero bisogno del vostro aiuto....
Grazie a tutti...
Grazie a tutti...
Prova a vedere la dimostrazione che trovi nella pagina di Wikipedia (sotto "Integral form for continuous functions"), ti potrebbe dare degli spunti. Neanche io capisco il senso di quel $1/n$
http://en.wikipedia.org/wiki/Gr%C3%B6nw ... inequality
http://en.wikipedia.org/wiki/Gr%C3%B6nw ... inequality
La dimostrazione di quel fatto mi torna. Tuttavia non capisco la condizione che la parte negativa di $alpha$ debba essere integrabile. Non bastava imporre che fosse continua?
E poi, perché proprio la parte negativa?!
E poi, perché proprio la parte negativa?!
Integrabile è molto meno che continua. Immagino chieda che la parte negativa sia integrabile, perché se a non essere integrabile è la parte positiva il membro destro della disuguaglianza diventa uguale a $+\infty$ e tutto si banalizza.
Comunque, mi dispiace, non mi ero accorto di tutte queste menate sulla pagina di Wikipedia. Sono fesserie di cui a noi non interessa niente. Speravo solo che tu potessi trovare uno spunto per il tuo problema, tutto qui
Comunque, mi dispiace, non mi ero accorto di tutte queste menate sulla pagina di Wikipedia. Sono fesserie di cui a noi non interessa niente. Speravo solo che tu potessi trovare uno spunto per il tuo problema, tutto qui
Mi sono spiegato male 
. Con "la dimostrazione di quel fatto mi torna" intendevo che avrei provato ad usarla 
. Anche perché la situazione è molto simile. Tuttavia, almeno per ora, non mi viene nulla in mente 
....
. Con "la dimostrazione di quel fatto mi torna" intendevo che avrei provato ad usarla . Anche perché la situazione è molto simile. Tuttavia, almeno per ora, non mi viene nulla in mente ....
Proprio oggi stavo sfogliando il libro di Perko ("Ordinary differential equations and dynamical systems") e ho visto che la sua dimostrazione del lemma di Gronwall dovrebbe essere facilmente generalizzabile al tuo caso. Se non hai ancora risolto puoi provare a dare una occhiata, il libro si trova facilmente in rete in formato pdf
Gli darò un'occhiata, grazie 
. Comunque relativamente alla tua osservazione avrei una domanda: perché il membro destro della disuguaglianza diventerebbe $+infty$ in quel caso?
Grazie di tutto
. Comunque relativamente alla tua osservazione avrei una domanda: perché il membro destro della disuguaglianza diventerebbe $+infty$ in quel caso?Grazie di tutto
Per una funzione non negativa, dire "non integrabile" equivale a dire "l'integrale fa $+\infty$".
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