Una funzione $W^(1,oo)$ non lipschitziana
Chi ha bazzicato un po' gli spazi di Sobolev sa che lo spazio $W^(1,oo)(Omega)$, con $Omega \subseteq RR^n$ aperto limitato con frontiera lipschitziana (o, ancora meglio, con frontiera di classe $C^1$), contiene tutte e sole le funzioni lipschitziane di $Omega$ in $RR$, quindi $W^(1,oo)(Omega)=C^(0,1)(Omega)$
Tuttavia, se viene a mancare l'ipotesi di regolarità sul bordo di $Omega$, tale caratterizzazione cessa di esser vera poiché si possono individuare funzioni di $W^(1,oo)$ che non sono lipschitziane.
Ho trovato un esercizio che mi chiede di trovare un esempio di quest'ultima situazione se l'aperto $Omega$ è la palla unitaria di $RR^2$ da cui è rimossa la cuspide $\{ (x,y) \in RR^2 : y>\sqrt(|x|)\}$: in pratica $Omega$ è l'aperto limitato racchiuso dalla curva in figura:
[asvg]xmin=-1;xmax=1;ymin=-1;ymax=1;
axes("labels");
plot("-sqrt(1-x^2)",-1,1);
plot("sqrt(1-x^2)",0.62,1);
plot("sqrt(1-x^2)",-1,-0.62);
plot("sqrt(abs(x))",-0.62,0.62);
text([0.5,-0.5],"Ω",below);[/asvg]
In particolare, mi si chiede di determinare una funzione $u$ di classe $C^1(Omega)$ che non sia lipschitziana
Evidentemente $Omega$ è un aperto limitato che non ha frontiera lipschitziana (infatti ci sono grossi problemi in $(0,0)$), quindi il compito assegnato non è impossibile.
La prima cosa che mi è venuta in mente è che non si può considerare la restrizione ad $Omega$ di una funzione $v$ di classe $C^1$ in un aperto $A$ contenente $\bar(Omega)$: infatti in tal caso le derivate della restrizione $u$ di $v$ ad $Omega$ sarebbero limitate e quindi la funzione così determinata sarebbe lipschitziana (oltre che $W^(1,oo)$ ovviamente).
Dopodiché, ho pensato che si può effettivamente procedere per restrizione epperò la funzione da restringere deve presentare qualche tipo di "magagna" nei punti dell'asse $y$, di modo che non convenga valutare $|u(x)-u(y)|/|x-y|$ "saltando fuori" da $Omega$ lungo la cuspide (o qualcosa del genere).
D'altra parte, $Omega$ è un insieme polare rispetto a $(0,0)$, quindi è anche probabile che si possa costruire la $u$ sui segmenti uscenti dall'origine e contenuti in $Omega$...
Però, purtroppo, finora non sono arrivato da nessuna parte.
Qualche suggerimento/idea?
Tuttavia, se viene a mancare l'ipotesi di regolarità sul bordo di $Omega$, tale caratterizzazione cessa di esser vera poiché si possono individuare funzioni di $W^(1,oo)$ che non sono lipschitziane.
Ho trovato un esercizio che mi chiede di trovare un esempio di quest'ultima situazione se l'aperto $Omega$ è la palla unitaria di $RR^2$ da cui è rimossa la cuspide $\{ (x,y) \in RR^2 : y>\sqrt(|x|)\}$: in pratica $Omega$ è l'aperto limitato racchiuso dalla curva in figura:
[asvg]xmin=-1;xmax=1;ymin=-1;ymax=1;
axes("labels");
plot("-sqrt(1-x^2)",-1,1);
plot("sqrt(1-x^2)",0.62,1);
plot("sqrt(1-x^2)",-1,-0.62);
plot("sqrt(abs(x))",-0.62,0.62);
text([0.5,-0.5],"Ω",below);[/asvg]
In particolare, mi si chiede di determinare una funzione $u$ di classe $C^1(Omega)$ che non sia lipschitziana
Evidentemente $Omega$ è un aperto limitato che non ha frontiera lipschitziana (infatti ci sono grossi problemi in $(0,0)$), quindi il compito assegnato non è impossibile.
La prima cosa che mi è venuta in mente è che non si può considerare la restrizione ad $Omega$ di una funzione $v$ di classe $C^1$ in un aperto $A$ contenente $\bar(Omega)$: infatti in tal caso le derivate della restrizione $u$ di $v$ ad $Omega$ sarebbero limitate e quindi la funzione così determinata sarebbe lipschitziana (oltre che $W^(1,oo)$ ovviamente).
Dopodiché, ho pensato che si può effettivamente procedere per restrizione epperò la funzione da restringere deve presentare qualche tipo di "magagna" nei punti dell'asse $y$, di modo che non convenga valutare $|u(x)-u(y)|/|x-y|$ "saltando fuori" da $Omega$ lungo la cuspide (o qualcosa del genere).
D'altra parte, $Omega$ è un insieme polare rispetto a $(0,0)$, quindi è anche probabile che si possa costruire la $u$ sui segmenti uscenti dall'origine e contenuti in $Omega$...
Però, purtroppo, finora non sono arrivato da nessuna parte.
Qualche suggerimento/idea?
Risposte
Non sono sicuro a 100% che sia l'idea giusta, ma io partirei dalla distanza dal bordo. Dovrebbe essere vero che tale funzione e' $W^{1,\infty}$ (anzi il suo gradiente dovrebbe avere modulo quasi ovunque
eguale a uno) ma non dovrebbe essere localmente lipschitziana vicino alla cuspide. Pero' non e' $C^1$ ...
P.S: Ma non eri in vacanza
eguale a uno) ma non dovrebbe essere localmente lipschitziana vicino alla cuspide. Pero' non e' $C^1$ ...
P.S: Ma non eri in vacanza
"ViciousGoblin":
Non sono sicuro a 100% che sia l'idea giusta, ma io partirei dalla distanza dal bordo. Dovrebbe essere vero che tale funzione e' $W^{1,\infty}$ (anzi il suo gradiente dovrebbe avere modulo quasi ovunque
eguale a uno) ma non dovrebbe essere localmente lipschitziana vicino alla cuspide. Pero' non e' $C^1$ ...
Ci penserò un po' su.
Grazie dell'aiuto.
"ViciousGoblin":
P.S: Ma non eri in vacanza
Sì, ma tra il giro a Praga ed il mare mi è capitato un "buco" di tre giorni a casa... Diciamo che ho fatto delle vacanze non semplicemente connesse.
Ho letto il primo post molto di sfuggita, quindi non so quanto potrà essere d'aiuto, ma in questo pdf
http://www-dimat.unipv.it/gilardi/WEBGG ... nz0910.pdf
a pagina 22 (numerazione del pdf), osservazione 5.39, c'è un esempio che forse fa al caso nostro.
http://www-dimat.unipv.it/gilardi/WEBGG ... nz0910.pdf
a pagina 22 (numerazione del pdf), osservazione 5.39, c'è un esempio che forse fa al caso nostro.
Il suggerimento precedente era completamente sbagliato (mi sono lasciato trascinare da un'analogia che qui non c'entra nulla)
Mi pare invece che una $f$ che fa al caso nostro si possa definire cosi'
$f(x,y)=0$ se $y\leq0$ mentre per $y>0$ poniamo $f(x,y)=y^a$ se $x>0$ e $f(x,y)=-y^a$ per $x<0$ .("divarichiamo" i due lembi dell'aperto).
Se $a>1$ direi che $f$ e' di classe $C^1$
Per $t>0$ prendiamo i punti $P_1=(t,\sqrt{t}/2)$ e $P_2=(-t,\sqrt{t}/2)$, che stanno nell'aperto e hanno distanza $2t$.
Valuiamo lo scarto di $f$:
$f(P_1)-f(P_2)=2(\sqrt{t}/2)^a=2^{1-a}t^{a/2}$
da cui si vede che, se $a<2$ il rapporto $\frac{f(P_1)-(P_2)}{||P_1-P_2||}$ diverge per $t\to0$.
Mi pare invece che una $f$ che fa al caso nostro si possa definire cosi'
$f(x,y)=0$ se $y\leq0$ mentre per $y>0$ poniamo $f(x,y)=y^a$ se $x>0$ e $f(x,y)=-y^a$ per $x<0$ .("divarichiamo" i due lembi dell'aperto).
Se $a>1$ direi che $f$ e' di classe $C^1$
Per $t>0$ prendiamo i punti $P_1=(t,\sqrt{t}/2)$ e $P_2=(-t,\sqrt{t}/2)$, che stanno nell'aperto e hanno distanza $2t$.
Valuiamo lo scarto di $f$:
$f(P_1)-f(P_2)=2(\sqrt{t}/2)^a=2^{1-a}t^{a/2}$
da cui si vede che, se $a<2$ il rapporto $\frac{f(P_1)-(P_2)}{||P_1-P_2||}$ diverge per $t\to0$.
Grazie VG.
Pensandoci un po' avevo capito che con la distanza non si arrivava dove volevo.
A "divaricare i lembi" a quel modo non ci avevo pensato; pensavo, non so perchè, ad una discontinuità di seconda specie sui punti dell'asse $y$ invece che ad una di prima specie.
Ringrazio anche dissonance per gli appunti di Gilardi (del quale vado a leggere di tanto in tanto le dispense, che sono sempre interessanti).
Pensandoci un po' avevo capito che con la distanza non si arrivava dove volevo.
A "divaricare i lembi" a quel modo non ci avevo pensato; pensavo, non so perchè, ad una discontinuità di seconda specie sui punti dell'asse $y$ invece che ad una di prima specie.
Ringrazio anche dissonance per gli appunti di Gilardi (del quale vado a leggere di tanto in tanto le dispense, che sono sempre interessanti).
"Gugo82":
...Ringrazio anche dissonance ...
Ciao Gugo,bentrovato! Ti trovo ingentilito
hai passato delle belle vacanze?
@ dissonance: hai un PM.
@ VG: il problema con la distanza $u(x):="dist"(x,\partial Omega)$* è che essa è globalmente lipschitziana in tutto $RR^2$ con costante di Lipschitz pari ad $1$; infatti per $x,y\in RR^2$ e $z\in \partial Omega$ è $|x-z|<=|x-y|+|y-z|$ e mutatis mutandis $|y-z|<=|x-y|+|x-z|$, cosicché $"dist"(x,\partial Omega)<= |x-y|+"dist"(y,\partial Omega)$ e $"dist"(y,\partial Omega)<= |x-y|+"dist"(x,\partial Omega)$, da cui $|u(x)-u(y)|<=|x-y|$.
Quindi non sarebbe stato possibile risolvere l'esercizio usando la distanza dal bordo.
__________
* Ricordo ai più giovani che, se $(X,"d")$ è uno spazio metrico, per $S\subseteq X$ non vuoto ed $x \in X$ la distanza di $x$ da $S$ si definisce al seguente modo:
$"dist"(x,S):="inf" \{"d"(x,z),z\in S\}$.
@ VG: il problema con la distanza $u(x):="dist"(x,\partial Omega)$* è che essa è globalmente lipschitziana in tutto $RR^2$ con costante di Lipschitz pari ad $1$; infatti per $x,y\in RR^2$ e $z\in \partial Omega$ è $|x-z|<=|x-y|+|y-z|$ e mutatis mutandis $|y-z|<=|x-y|+|x-z|$, cosicché $"dist"(x,\partial Omega)<= |x-y|+"dist"(y,\partial Omega)$ e $"dist"(y,\partial Omega)<= |x-y|+"dist"(x,\partial Omega)$, da cui $|u(x)-u(y)|<=|x-y|$.
Quindi non sarebbe stato possibile risolvere l'esercizio usando la distanza dal bordo.
__________
* Ricordo ai più giovani che, se $(X,"d")$ è uno spazio metrico, per $S\subseteq X$ non vuoto ed $x \in X$ la distanza di $x$ da $S$ si definisce al seguente modo:
$"dist"(x,S):="inf" \{"d"(x,z),z\in S\}$.
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