Una Funzione può avere ordine di infinitesimo 1?
Salve, stavo calcolando l'ordine di infinitesimo della seguente funzione: $g(x)=(xsqrt(tanx)+sinx)/sqrt(x)$ per $x->0^+$
ed ho trovato che ha ordine di infinitesimo $1$, dal momento che non ho mai trovato una funzione che ha ordine di infinitesimo 1 ho il dubbio di aver sbagliato anche se ho ricontrollato i calcoli.
Dopo aver trovato l'equivalente a $0^+$ l'ho confrontata con la funzione $x^alpha$;
e c'è un'altra cosa strana, il limite mi viene 0 e quindi parte principale di infinitesimo 0
Grazie per qualsiasi risposta!
ed ho trovato che ha ordine di infinitesimo $1$, dal momento che non ho mai trovato una funzione che ha ordine di infinitesimo 1 ho il dubbio di aver sbagliato anche se ho ricontrollato i calcoli.
Dopo aver trovato l'equivalente a $0^+$ l'ho confrontata con la funzione $x^alpha$;
e c'è un'altra cosa strana, il limite mi viene 0 e quindi parte principale di infinitesimo 0
Grazie per qualsiasi risposta!
Risposte
Se la vista non m'inganna, [tex]$g$[/tex] ha ordine d'infinitesimo pari a [tex]$\tfrac{1}{2}$[/tex] in [tex]$0$[/tex]... Prova a postare i conti.
P.S.: Evidentemente [tex]$f(x)=x$[/tex] ha ordine d'infinitesimo [tex]$1$[/tex] in [tex]$0$[/tex], quindi...
P.S.: Evidentemente [tex]$f(x)=x$[/tex] ha ordine d'infinitesimo [tex]$1$[/tex] in [tex]$0$[/tex], quindi...
Grazie tante per aver risposto!!
ecco il procedimento che ho seguito, innanzitutto ho trovato l'equivalente a zero: $xsqrt(tanx)+sinx$ ~0 $xsqrtx +x$
quindi $g(x)=(xsqrtx +x)/sqrtx=2x$ poi scelgo come funzione campione $u(x)=x^alpha$
e so che $g(x)$ ha ordine di infinitesimo $alpha$ se esiste $l in RR\\{0}$ tale che $lim_(x->0) g(x)/(u(x))=l$
quindi per far si che il lim sia uguale ad $l$ scelgo $alpha=1$ ed allora g(x) ha ordine di infinitesimo 1 per $x->0$ rispetto a $u(x)=x^alpha$
infine la parte principale di infinitesimo è data da $l*u(x)+o(u(x))$; il limite $lim_(x->0)(2x)/x$ è una forma indeterminata 0/0 e usando de l'hopital risulta $=2$
parte principale d'infinitesimo $= 2x$
non capisco dove sbaglio
ecco il procedimento che ho seguito, innanzitutto ho trovato l'equivalente a zero: $xsqrt(tanx)+sinx$ ~0 $xsqrtx +x$
quindi $g(x)=(xsqrtx +x)/sqrtx=2x$ poi scelgo come funzione campione $u(x)=x^alpha$
e so che $g(x)$ ha ordine di infinitesimo $alpha$ se esiste $l in RR\\{0}$ tale che $lim_(x->0) g(x)/(u(x))=l$
quindi per far si che il lim sia uguale ad $l$ scelgo $alpha=1$ ed allora g(x) ha ordine di infinitesimo 1 per $x->0$ rispetto a $u(x)=x^alpha$
infine la parte principale di infinitesimo è data da $l*u(x)+o(u(x))$; il limite $lim_(x->0)(2x)/x$ è una forma indeterminata 0/0 e usando de l'hopital risulta $=2$
parte principale d'infinitesimo $= 2x$
non capisco dove sbaglio
scusa ma $(xsqrt(x) + x)/sqrt(x)$ farà $x + sqrt(x)$
"12Aquila":
quindi $g(x)=(xsqrtx +x)/sqrtx=2x$
Sbagli qui.
Razionalizzando ottieni [tex]$x+\sqrt{x}$[/tex], che ha ordine [tex]$\tfrac{1}{2}$[/tex] (vedi il terzo punto di seguito).
Comunque, a parte l'errore di calcolo, si può procedere anche in altro modo per evitare casini.
Infatti:
- sai che [tex]$\sin x,\ \tan x,\ x$[/tex] sono infinitesimi d'ordine [tex]$1$[/tex] in [tex]$0$[/tex] (per i limiti fondamentali), ergo [tex]$\sqrt{\tan x} ,\ \sqrt{x}$[/tex] sono infinitesimi d'ordine [tex]$\tfrac{1}{2}$[/tex] in [tex]$0$[/tex];
- sai che il prodotto d'infinitesimi dotati d'ordine è un infinitesimo d'ordine uguale alla somma degli ordini dei fattori, perciò [tex]$x\sqrt{\tan x}$[/tex] è infinitesimo d'ordine [tex]$\tfrac{3}{2} =1+\tfrac{1}{2}$[/tex] in [tex]$0$[/tex];
- visto che la somma d'infinitesimi dotati di ordine ha ordine uguale al più piccolo degli ordini degli addendi, riesci subito a dire che [tex]$x\sqrt{\tan x} +\sin x$[/tex] è un infinitesimo d'ordine [tex]$1=\min \{ \tfrac{3}{2} ,1\}$[/tex] in [tex]$0$[/tex];
- infine il rapporto tra due infinitesimi dotati di ordine è un infinitesimo quando l'ordine del numeratore è maggiore di quello del denominatore ed, in tal caso, esso ha ordine uguale alla differenza tra i suddetti ordini: quindi puoi affermare che la funzione [tex]$\frac{x\sqrt{\tan x} +\sin x}{\sqrt{x}}$[/tex] è infinitesimo ed ha ordine uguale a [tex]$\tfrac{1}{2} =1-\tfrac{1}{2}$[/tex] in [tex]$0$[/tex].
Morale della favola: le sostituzioni non sempre sono necessarie per stabilire l'ordine d'infinitesimo (od infinito) di una funzione.
Grazie ad entrambi per le correzioni! 
in effetti mi sono dimenticato di razionalizzare, e rifacendo i conti $alpha$ verrebbe sempre 1. ma ho escogitato una specie di artificio:
$lim_(x->0) (x+sqrt(x))/x =lim_(x->0) (x+x^(1/2))/x =(x^(1/2)(1^(1/2)+1))/x^alpha$ quindi ordine di infinitesimo $alpha=1/2$ e la parte principale di infinitesimo $lim_(x->0) (x+x^(1/2))/x^(1/2)=x+1=1 -> 1*x^(1/2)+o(x^(1/2))= x^(1/2)$
trovo molto interessante il metodo che hai proposto gugo82
Grazie Mille!
in effetti mi sono dimenticato di razionalizzare, e rifacendo i conti $alpha$ verrebbe sempre 1. ma ho escogitato una specie di artificio:$lim_(x->0) (x+sqrt(x))/x =lim_(x->0) (x+x^(1/2))/x =(x^(1/2)(1^(1/2)+1))/x^alpha$ quindi ordine di infinitesimo $alpha=1/2$ e la parte principale di infinitesimo $lim_(x->0) (x+x^(1/2))/x^(1/2)=x+1=1 -> 1*x^(1/2)+o(x^(1/2))= x^(1/2)$
trovo molto interessante il metodo che hai proposto gugo82
Grazie Mille!
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