Una funzione discontinua su un sottoinsieme denso dei reali
La funzione incriminata è questa (denoto con ${cdot}$ la parte frazionaria di un numero reale, ovvero la differenza tra il numero e la propria parte intera):
$\forallx\inRR, f(x):=sum_{n=1}^infty({nx})/n^2$.
Un esercizio che sto cercando di risolvere da un po' chiede di dimostrare che questa funzione è Riemann-integrabile su ogni intervallo compatto nonostante sia discontinua su un sottoinsieme denso di $RR$.
Ora, sul fatto che la funzione sia integrabile non ci piove, difatti quella serie converge uniformemente su $RR$. Anche questo fantomatico "sottoinsieme denso" dei reali sarà $QQ$, ma come si può dimostrare una cosa del genere?
Mentre è chiaro che, per ogni punto di continuità di tutti gli addendi, la somma della serie è continua (vista la convergenza uniforme), è meno chiaro il resto.
$\forallx\inRR, f(x):=sum_{n=1}^infty({nx})/n^2$.
Un esercizio che sto cercando di risolvere da un po' chiede di dimostrare che questa funzione è Riemann-integrabile su ogni intervallo compatto nonostante sia discontinua su un sottoinsieme denso di $RR$.
Ora, sul fatto che la funzione sia integrabile non ci piove, difatti quella serie converge uniformemente su $RR$. Anche questo fantomatico "sottoinsieme denso" dei reali sarà $QQ$, ma come si può dimostrare una cosa del genere?
Mentre è chiaro che, per ogni punto di continuità di tutti gli addendi, la somma della serie è continua (vista la convergenza uniforme), è meno chiaro il resto.
Risposte
Per ogni $q\in N$ fissato hai per ogni $p\in N$ $lim_{x \to (p/q)^+} \{qx\}=0=\{q p/q\}$ mentre $lim_{x \to (p/q)^-} \{qx\}=1$ per cui tale funzione è continua da destra. Sui razionali allora ottieni subito che per ogni razionale della forma $p/q$ hai $lim_{x \to (p/q)^+} \sum_{n=1}^{\infty} {\{ nx \}}/n^2 +{\{qx\}}/q^2 + \sum_{n=q+1}^{\infty} {\{nx\}}/n^2= \sum_{n=1}^{q-1} {\{np/q\}}/n^2 + 0 + \sum_{n=q+1}^{\infty} {\{np\q\}}/n^2$ mentre $lim_{x \to (p/q)^-} \sum_{n=1}^{\infty} {\{nx\}}/n^2 +{\{qx\}}/q^2 + \sum_{n=q+1}^{\infty} {\{nx\}}/n^2= \sum_{n=1}^{q-1} {\{np/q\}}/n^2 + 1/q^2 + \sum_{n=q+1}^{\infty} {\{np/q\}}/n^2$ per cui è discontinua sui razionali..una domanda:questo esercizio è di Figà-Talamanca?te lo chiedo perchè è solito dare esercizi di questo tipo
Non conosco questo Figà-Talamanca... Questo esercizio viene da un libro, il solito Rudin principi di analisi matematica.
Allora venendo a noi...in sostanza tu fai un discorso di passaggio al limite per serie: siccome la serie converge uniformemente, per calcolare il limite nei punti razionali passi al limite termine a termine. E' così?
Allora venendo a noi...in sostanza tu fai un discorso di passaggio al limite per serie: siccome la serie converge uniformemente, per calcolare il limite nei punti razionali passi al limite termine a termine. E' così?
@alberto86: ok, penso di avere capito. Metto in bella copia, se hai voglia di buttarci un occhio mi puoi dire se era questo che volevi dire prima. Altrimenti non fa niente, ti ringrazio per avermi risolto il problema!
Dunque, per ogni razionale $p/q$ c'è una famiglia di addendi della serie, precisamente tutti gli addendi di tipo $({nqx})/n^2$, che hanno un salto in $p/q$. Infatti $lim_{t\to (p/q)^(-)}{nqt}=1, lim_{t\to (p/q)^(+)}{nqt}=0$. Questo fatto produce una discontinuità della serie nel punto $p/q$: infatti tutti gli addendi $({nqx})/n^2$ avranno questo salto, mentre tutti gli altri sono continui in $p/q$. Inoltre la serie converge uniformemente perciò possiamo passare al limite in $p/q$: da sinistra avremo per limite una somma tipo ${p/q}+({2p/q})/4+...+1+({(q+1)p/q})/(q+1)^2+...+1+...$, da destra invece degli 1 avremo degli zeri: ${p/q}+({2p/q})/4+...+0+({(q+1)p/q})/(q+1)^2+...+0+...$. Evidentemente queste somme sono diverse e perciò $f$ ha un salto in $p/q$ pure lei.
Dunque, per ogni razionale $p/q$ c'è una famiglia di addendi della serie, precisamente tutti gli addendi di tipo $({nqx})/n^2$, che hanno un salto in $p/q$. Infatti $lim_{t\to (p/q)^(-)}{nqt}=1, lim_{t\to (p/q)^(+)}{nqt}=0$. Questo fatto produce una discontinuità della serie nel punto $p/q$: infatti tutti gli addendi $({nqx})/n^2$ avranno questo salto, mentre tutti gli altri sono continui in $p/q$. Inoltre la serie converge uniformemente perciò possiamo passare al limite in $p/q$: da sinistra avremo per limite una somma tipo ${p/q}+({2p/q})/4+...+1+({(q+1)p/q})/(q+1)^2+...+1+...$, da destra invece degli 1 avremo degli zeri: ${p/q}+({2p/q})/4+...+0+({(q+1)p/q})/(q+1)^2+...+0+...$. Evidentemente queste somme sono diverse e perciò $f$ ha un salto in $p/q$ pure lei.
esattamente..puoi addirittura usare il teorema di convergenza dominata(o monotona visto che la serie è a termini positivi) di Lebesgue relativo alla misura discreta su $N$ dal momento che la serie è dominata da $\sum_{n=1}^{\infty} 1/n^2$ e quindi non hai problemi a portare il limite sotto la serie..ora però non sono gli addendi ${\{nqx\}}/n^2$ il problema perchè in realtà l' "$n$" del numeratore non è lo stesso del denominatore ma per la serie, dato un razionale del tipo $p/q$, sono solo i termini ${\{mqx\}}/(mq)^2$ che ti danno la discontinuità di salto. Io ne ho scritto solo uno per farti vedere che ce n'è almeno uno che dà problemi e tra di loro non si "intralciano" perchè la serie è a termini positivi.
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