Una domanda sui reali

[axpgn]

Stavo pensando alla modalità di costruzione degli interi quando mi è venuta in mente questa "cosa": supponiamo che i numeri reali non siano altro che una sequenza infinita di cifre (decimali tanto per farla semplice) in entrambi i versi con un punto decimale da qualche parte (tanto possiamo sempre mettere infiniti zeri davanti e dietro).
Ora è facile (si fa per dire) immaginare un'infinita di cifre a destra del punto decimale ma a sinistra?
Ovvero esiste qualcosa che possiamo chiamare numero reale che abbia infinite cifre alla sinistra del punto decimale e che non siano mai definitivamente zero?
I numeri reali possiamo metterli in ordine ma numeri del genere non sarebbero ordinabili, no?
E neppure sommabili, moltiplicabili, ecc.


Cordialmente, Alex

[ghira1]

"axpgn":
Ora è facile (si fa per dire) immaginare un'infinita di cifre a destra del punto decimale ma a sinistra?

I numeri "adici"?

[gugo82]

Praticamente stai domandando se l'insieme delle successioni bilatere di cifre può essere dotato di una struttura algebrica/d'ordine decente... La risposta è: boh.

[axpgn]

@ghira
Cosa intendi di preciso? Conoscono vagamente i p-adici ...

@gugo82
Detta così suona molto meglio
Possibile che nessuno ci abbia mai pensato? Ah, beh, forse qualcuno ci ha riflettuto e ha visto che non ne valeva la pena

[megas_archon]

Se non conosci l'insieme dei numeri surreali, facci amicizia. Potrebbero somigliare a quello che hai in testa.

[axpgn]

L'ho letto il libro di Knuth ma una volta sola non è sufficiente
Quello di Conway poi ... dovrei trovare qualcuno che mi aiuti, leggere non mi basta ...
Grazie

[otta96]

Dovrebbero bastare gli iperreali per quello, chiaramente comunque i reali non possono avere una stringa infinita a sinistra.
E sono totalmente ordinati.

[axpgn]

Ma gli iperreali (infiniti) sono maggiori (o minori) di ogni numero reale ma non sono sequenze infinite di cifre, no?

[otta96]

No ma da una sequenza infinita del tipo che hai descritto si può ricavare un numero iperreale: prendi la successione delle troncature della sequenza con solo i primi $n$ numeri a sinistra della virgola, e passi alla classe di equivalenza per ottenere l'iperreale.

[ghira1]

"axpgn":@ghira
Cosa intendi di preciso? Conoscono vagamente i p-adici ...

Probabilmente quelli. Ho visto qualcosa in giro sui numeri con infinite cifre a sinistra della virgola, ma non ne so nulla. E ho visto usare il nome "adici" invece di "p-adici" qualche volta.

[ghira1]

"axpgn":L'ho letto il libro di Knuth ma una volta sola non è sufficiente
Quello di Conway poi ... dovrei trovare qualcuno che mi aiuti, leggere non mi basta ...

Forse potresti provare "Winning Ways", o i libri di Siegel e/o Nowakowski.

[axpgn]

Quello l'ho letto, gli altri me li cerco, thanks

Comunque mi pare che i p-adici abbiano infiniti zeri a sx ma a parte questo hanno una struttura ben definita e ci si può lavorare mentre con questi "reali infiniti a sx" la vedo dura.
Per esempio, si può pensare che un numero composto da infiniti $3$ sia più "piccolo" di uno formato da infiniti $4$ ma questo non è possibile farlo con i "reversi" di $pi$ ed $e$. No?


@otta
Non mi è chiara la procedura che useresti

[otta96]

Hai presente come si costruiscono gli iperreali? O almeno uno dei modi, il più diffuso immagino.

[axpgn]

Mi vado a rileggere Keisler (passato troppo tempo ) poi ne riparliamo (se necessario )

[axpgn]

Non conoscevo quel metodo, ho letto qualcosa su Wikipedia (Non mi pare di averlo letto sul Keisler ma d'altra parte non è necessario costruire "realmente" gli iperreali per usarli nell'analisi nonstandard).
Comunque, non sono molto convinto ... passi per l'addizione, sulla moltiplicazione già avrei dubbi ma sull'ordinamento ...

[otta96]

Eh come per i reali si possono introdurre sia con l'approccio assiomatico che con quello costruttivo.
Però se hai capito l'approccio costruttivo, che è semplice e patto di sapere un pizzico cosa sia un ultrafiltro, non ci sono tanti problemi di moltiplicazione o di ordinamento.
Se però avevi delle proprietà in mente che queste sequenze viste come numeri dovessero avere non è detto che ce le abbiano in questa realizzazione.

[axpgn]

"otta96":... a patto di sapere un pizzico cosa sia un ultrafiltro, ...

No, non avevo particolari proprietà in mente se non appunto quelle basiche ovvero esistenza, comparazione, addizione e moltiplicazione.

Quindi, tu dici che possiamo "includere" le sequenze infinite di cifre bilatere tra gli iperreali (o viceversa ); corretto?

[otta96]

Corretto
Dai, un ultrafiltro cosa vuoi che sia

[axpgn]

Nazionali esportazioni con ULTRAFILTRO

[otta96]

Comunque ci stavo ripensando e se hai la sensazione che ci sia qualche inghippo in questa costruzione, in un certo senso c'è: infatti se da un lato non ci sono problemi per quanto riguarda l'addizione, infatti il risultato sarà la classe delle somme tra le due troncate, e quindi sarà nuovamente un numero di questo tipo, anche per la moltiplicazione il risultato si ottiene analogamente, ma non è detto che sarà una sottosuccessione di una troncata di una successione (cioè un numero dello stesso tipo), quindi la moltiplicazione potrebbe non essere interna a questo insieme (a occhio è interna nel sottoinsieme dei numeri con uno sviluppo decimale limitato). Inoltre per l'ordinamento, non sarà facile in quasi tutti i casi capire quando un numero è maggiore dell'altro, senz'altro se ogni troncata di un numero è maggiore di quella di un altro, termine a termine, allora il primo è maggiore del secondo, ma saranno pochi i casi oltre a questo in cui riesci a concludere quale sia il maggiore e quale il minore (fondamentalmente quando succede la stessa cosa per tutti tranne un numero finito di termini).

[axpgn]

Beh, sì, erano un po' i dubbi che avevo anch'io (p.es. quando mi riferivo a $...333 < ...444$ ok ma il "riflesso" di $pi$ è maggiore o minore del "riflesso" di $e$?)