Una domanda sugli spazi di Lebesgue

[_fabricius_1]

Sia $p>1$ e sia $\phi$ una funzione misurabile (diciamo su $RR^d$) tale che sia ben definito e continuo il funzionale
\[f\in L^p\mapsto \int \phi f \in \mathbb C\]
cioè
1. \(\forall f \in L^p \colon \int |\phi f|<\infty\);
2. \(\exists C>0\) tale che \(\forall f \in L^p \colon |\int \phi f|\le C ||f||_p\).
È vero che $\phi$ è in $L^(p')$ (ove $1/p+1/(p')=1$)?

[Rigel1]

Per ipotesi, il funzionale \(L\colon L^p\to\mathbb{C}\) definito da \(L f := \int \phi f\) è lineare e continuo.
Per il teorema di rappresentazione di Riesz, esiste \(\psi\in L^{p'}\) tale che \(L f = \int \psi f\) per ogni \(f\in L^p\).
A questo punto l'uguaglianza \(\int \psi f = \int \phi f\) per ogni \(f\in L^p\) implica \(\phi = \psi\) a.e.

[dissonance]

Una vecchia discussione più difficile:

viewtopic.php?f=40&t=70155

[_fabricius_1]

"Rigel":
A questo punto l'uguaglianza \(\int \psi f = \int \phi f\) per ogni \(f\in L^p\) implica \(\phi = \psi\) a.e.

In effetti il problema era proprio dimostrare l'ultima implicazione ma credo d'aver fatto. Sapendo \(\int (\psi-\phi) f=0\) per ogni \(f\in L^p\) e scegliendo come $f$ le funzioni caratteristiche degli insiemi su cui \(\psi-\phi\) è positiva o negativa intersecati con qualche palla si conclude facilmente che \(\psi-\phi=0\).

Appena ho tempo leggerò la discussione citata da dissonance!