Una domanda su limite con Taylor
Mi piacerebbe riuscire a fugare questo dubbio, spero di non ledere alcuna linea guida aprendo una seconda discussione senza aver ancora ricevuto risposta alla prima (seppur richieste diverse).
Il mio dubbio è questo:ma se io sviluppassi $x arctan( x ) = x^2 + o(x^2)$ cioè arrestandomi al primo termine, in teoria dovrebbe andare bene perché non si annulla da nessuna parte. Inoltre non si è costretti a sviluppare tutte le funzioni allo stesso ordine.
Però proseguendo così avrei,
$lim_(x->0) (-x^4/2-x^4/2+o(x^4))/(x^4+o(x^4))=-1/2-1/2=1$
che è evidentemente sbagliato essendo diverso dalla soluzione, ma non vedo eprché dovrebbe esserlo dato che arrestare lo sviluppo dell'arcotangente al 1° termine è consentito.
non riesco a scovare l'errore-
Per oggi non disturbo oltre, scusate
Il mio dubbio è questo:ma se io sviluppassi $x arctan( x ) = x^2 + o(x^2)$ cioè arrestandomi al primo termine, in teoria dovrebbe andare bene perché non si annulla da nessuna parte. Inoltre non si è costretti a sviluppare tutte le funzioni allo stesso ordine.
Però proseguendo così avrei,
$lim_(x->0) (-x^4/2-x^4/2+o(x^4))/(x^4+o(x^4))=-1/2-1/2=1$
che è evidentemente sbagliato essendo diverso dalla soluzione, ma non vedo eprché dovrebbe esserlo dato che arrestare lo sviluppo dell'arcotangente al 1° termine è consentito.
non riesco a scovare l'errore-
Per oggi non disturbo oltre, scusate
Risposte
"suppatruppa":Sì e no o — per meglio dire — no, non è così. Se nel tuo caso desideri avere termini del quarto grado è necessario considerare tutti i "reagenti" che generano tali "prodotti". Per capire meglio guarda a tali sviluppi polinomiali come alle approsimazioni che rappresentano. Diciamo \(f(x)=x^2+kx^4\) con \(k\in\mathbb{R}\), allora in un intorno di \(0\) si ha lo sviluppo \(\log{(1+f(x))}=x^2+\left(k-\frac{1}{2}\right)x^4+o(x^4)\). Se \(k\gg\frac{1}{2}\implies k-\frac{1}{2}\approx k\). Di conseguenza se non tieni conto del termine \(kx^4\) nello sviluppo del logaritmo commetti un errore molto grande relativamente al termine di quarto grado. Questo per rendere evidente che non considerare termini che contribuiscono all'espansione polinomiale di ordine desiderato può generare errori marchiani. Perciò, tornando al nostro esempio, pure \(k\) fosse confrontabile con \(\frac{1}{2}\), trascurare tale quantità porta a cadere in fallo.
se io sviluppassi $x arctan( x ) = x^2 + o(x^2)$ cioè arrestandomi al primo termine, in teoria dovrebbe andare bene perché non si annulla da nessuna parte. Inoltre non si è costretti a sviluppare tutte le funzioni allo stesso ordine.
Ok dovrei aver capito, ti ringrazio.
Tra l'altro forse ho anche fatto un altro errore, infatti a ben pensarci io sviluppando arctan solo fino al 2° avrei un o-piccolo di $x^2$ che si "mangia" gli $x^4/2$
cioè mi sarei trovato con zero qui
Tra l'altro forse ho anche fatto un altro errore, infatti a ben pensarci io sviluppando arctan solo fino al 2° avrei un o-piccolo di $x^2$ che si "mangia" gli $x^4/2$
"suppatruppa":
Però proseguendo così avrei,
$lim_(x->0) (-x^4/2-x^4/2+o(x^4))/(x^4+o(x^4))=-1/2-1/2=1$
.
cioè mi sarei trovato con zero qui
Stessa cosa: l'o-piccolo rappresenta tutti i termini trascurati e conseguentemente indica tutti quelli che sono rilevanti.
Sì certo, mi è chiaro, avevo solo aggiunto la nota per dovere di completezza.
Mi è tutto chiaro dopo la tua spiegazione.
Mi è tutto chiaro dopo la tua spiegazione.
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