Una domanda su $lim "sup"$ di una successione
Buonasera,
oggi a lezione è stato definito (in maniera un po' artigianale, insomma, quasi a mo' di cenno) il limite superiore di una successione di numeri reali. Ci è stato detto che esso è il massimo dell'insieme dei punti di accumulazione della (immagine della) successione.
L'uso del sostantivo massimo (in luogo di estremo superiore) è giustificato dal fatto che il sup del derivato è esso stesso un punto di accumulazione (ci è stato detto che è dimostrabile).
Io chiedo: è giusta la definizione che ci è stata data? A me non convince per niente. Anche perchè ci è stato fatto questo esempio subito dopo: prendiamo una successione $(a_n)$ definita come $a_(2k)=1$ e $a_(2k+1)=3$. Allora, il derivato è $A={1,3}$ e dunque $lim_(n to +oo) "sup" = "max " A = 3$.
Ma perchè 1 e 3 sono punti di accumulazione?
Secondo me non lo sono, sono solo aderenti all'immagine (anche perchè vi appartengono). E poi l'immagine è un insieme finito, come può ammettere punti di accumulazione?
In definitiva, 'sto lim sup che cos'è? Posso definirlo come il max dei punti limite di una successione (dove per punto limite intendo un punto che è il limite di una sottosuccessione)?
Scusate il casino, forse la questione è semplice, ma ci terrei ad avere le idee chiare.
Grazie in anticipo.
oggi a lezione è stato definito (in maniera un po' artigianale, insomma, quasi a mo' di cenno) il limite superiore di una successione di numeri reali. Ci è stato detto che esso è il massimo dell'insieme dei punti di accumulazione della (immagine della) successione.
L'uso del sostantivo massimo (in luogo di estremo superiore) è giustificato dal fatto che il sup del derivato è esso stesso un punto di accumulazione (ci è stato detto che è dimostrabile).
Io chiedo: è giusta la definizione che ci è stata data? A me non convince per niente. Anche perchè ci è stato fatto questo esempio subito dopo: prendiamo una successione $(a_n)$ definita come $a_(2k)=1$ e $a_(2k+1)=3$. Allora, il derivato è $A={1,3}$ e dunque $lim_(n to +oo) "sup" = "max " A = 3$.
Ma perchè 1 e 3 sono punti di accumulazione?
Secondo me non lo sono, sono solo aderenti all'immagine (anche perchè vi appartengono). E poi l'immagine è un insieme finito, come può ammettere punti di accumulazione?
In definitiva, 'sto lim sup che cos'è? Posso definirlo come il max dei punti limite di una successione (dove per punto limite intendo un punto che è il limite di una sottosuccessione)?
Scusate il casino, forse la questione è semplice, ma ci terrei ad avere le idee chiare.
Grazie in anticipo.
Risposte
Beh, la definizione mi sembra in effetti un po' imprecisa (proprio per il motivo evidenziato nel tuo esempio).
In genere, si definisce la classe limite come l'insieme $E$ dei reali estesi che sono limiti di una sottosuccessione di $(a_k)$.
A questo punto il limite superiore e quello inferiore sono il sup e l'inf di questo insieme.
In genere, si definisce la classe limite come l'insieme $E$ dei reali estesi che sono limiti di una sottosuccessione di $(a_k)$.
A questo punto il limite superiore e quello inferiore sono il sup e l'inf di questo insieme.
@Paolo: Prova a vedere la cosa su Principi di analisi matematica dove il concetto di limsup è spiegato molto bene e in modo compatibile con le definizioni che hai. C'è una sezione apposta nel 3° capitolo.
Io ho sempre visto il limsup come limite del sup, da cui credo la notazione limsup: se [tex](a_n)[/tex] è una successione reale allora [tex]\limsup a_n=\lim_{k \to +\infty}\sup_{n \ge k}a_n[/tex]. Cosa analoga per il liminf: [tex]\liminf a_n=\lim_{k \to +\infty}\inf_{n \ge k}a_n[/tex]. Si noti che limsup e liminf esistono sempre, dal momento che le successioni [tex]s_k=\sup_{n \ge k}a_n[/tex] e [tex]i_k=\inf_{n \ge k}a_n[/tex] sono monotone.
Grazie a tutti per le risposte.
@ rigel e dissonance:
Avevo già dato un'occhiata al Rudin, effettivamente è molto chiaro e definisce il lim sup come il sup dell'insieme dei punti limite, come dicevamo io (alla fine del post sopra) e Rigel.
@ Luca:
il tuo approccio mi è nuovo, non l'avevo mai visto. Praticamente tu dici: prendiamo una successione di numeri reali e prendiamo un numero $k in NN$. Andiamo a considerare l'insieme degli elementi della successione di indice maggiore di $k$: ${a_n " tali che " n>=k}$ e facciamone il sup. Al variare di $k$ otteniamo una successione fatta di "estremi superiori"; al limite, otteniamo proprio il lim sup. Ho capito bene?
Ho provato un po' a vedere la questione della monotonia, perchè vorrei provare che il lim sup esiste sempre. Se non ho visto male, diciamo che se $(a_n)$ è monotona il gioco è fatto (anche perchè automaticamente $(a_n)$ ha limite -finito o infinito- e quindi lim sup e lim inf coincidono). Quindi, supponiamo di avere una $(a_n)$ non monotona. Intuitivamente, è chiaro che la successione $"sup"_(n>=k)$ è monotona decrescente perchè non posso avere un "sup più grande dopo". Non so se mi spiego; in pratica, se $(a_n)$ non è monotona, vuol dire che esistono infiniti $n_1$, $n_2$ (wlog $n_1a_(n_2+1)$ (cioè un po' cresce, un po' decresce e questo su tutto l'asse reale).
Per provare che la successione $(x_k)="sup"_(i>=k) {a_i}$ è non crescente mi basta far vedere che $x_(n_1)>= x_(n_2)$. Ma se per assurdo fosse $x_(n_1)< x_(n_2)$ allora avrei $a_(n_2)
E' giusta la formalizzazione? Non è che mi piaccia troppo, però non sapevo bene come cavarmela... Se la mia intuizione è giusta, il lim sup esiste sempre ed è l'estremo inferiore dell'insieme di tutti i numeri che maggiorano definitivamente la successione (ammesso che ne esistano di tali numeri; ovviamente se non esistono il lim sup è $+oo$).
Ci sono o ho preso una cantonata?
Grazie per l'aiuto.
P.S. Ah, ancora una cosa: il legame con i punti di accumulazione io continuo a non vederlo, comunque. Mi sa che il prof si è sbagliato.
@ rigel e dissonance:
Avevo già dato un'occhiata al Rudin, effettivamente è molto chiaro e definisce il lim sup come il sup dell'insieme dei punti limite, come dicevamo io (alla fine del post sopra) e Rigel.
@ Luca:
il tuo approccio mi è nuovo, non l'avevo mai visto. Praticamente tu dici: prendiamo una successione di numeri reali e prendiamo un numero $k in NN$. Andiamo a considerare l'insieme degli elementi della successione di indice maggiore di $k$: ${a_n " tali che " n>=k}$ e facciamone il sup. Al variare di $k$ otteniamo una successione fatta di "estremi superiori"; al limite, otteniamo proprio il lim sup. Ho capito bene?
Ho provato un po' a vedere la questione della monotonia, perchè vorrei provare che il lim sup esiste sempre. Se non ho visto male, diciamo che se $(a_n)$ è monotona il gioco è fatto (anche perchè automaticamente $(a_n)$ ha limite -finito o infinito- e quindi lim sup e lim inf coincidono). Quindi, supponiamo di avere una $(a_n)$ non monotona. Intuitivamente, è chiaro che la successione $"sup"_(n>=k)$ è monotona decrescente perchè non posso avere un "sup più grande dopo". Non so se mi spiego; in pratica, se $(a_n)$ non è monotona, vuol dire che esistono infiniti $n_1$, $n_2$ (wlog $n_1
Per provare che la successione $(x_k)="sup"_(i>=k) {a_i}$ è non crescente mi basta far vedere che $x_(n_1)>= x_(n_2)$. Ma se per assurdo fosse $x_(n_1)< x_(n_2)$ allora avrei $a_(n_2)
E' giusta la formalizzazione? Non è che mi piaccia troppo, però non sapevo bene come cavarmela... Se la mia intuizione è giusta, il lim sup esiste sempre ed è l'estremo inferiore dell'insieme di tutti i numeri che maggiorano definitivamente la successione (ammesso che ne esistano di tali numeri; ovviamente se non esistono il lim sup è $+oo$).
Ci sono o ho preso una cantonata?
Grazie per l'aiuto.
P.S. Ah, ancora una cosa: il legame con i punti di accumulazione io continuo a non vederlo, comunque. Mi sa che il prof si è sbagliato.
"Paolo90":
Grazie a tutti per le risposte.
P.S. Ah, ancora una cosa: il legame con i punti di accumulazione io continuo a non vederlo, comunque. Mi sa che il prof si è sbagliato.
Diciamo che ha dato un'informazione incompleta:
i punti $x$ di $E$ (la classe limite definita prima) sono o punti di accumulazione di $(a_n)$ (nei reali estesi) oppure tali che esistono infiniti indici distinti $n_j$ con $a_{n_j} = x$.
Riguardo l'esistenza:
se usi la definizione di luca va bene il tuo ragionamento.
Se invece usi la definizione (equivalente) tramite classe limite, basta dimostrare che l'insieme $E$ è non vuoto e chiuso (sempre nei reali estesi).
Di conseguenza ammette massimo e minimo (sempre nei reali estesi): se non ti piace usare i reali estesi, vedi subito che se $(a_n)$ non è limitata superiormente allora $"limsup" a_n = +\infty$, mentre se $(a_n)$ è limitata superiormente allora $"limsup" a_n = \max E$ (massimo che esiste).
Analogamente per il liminf.
Grazie nuovamente, Rigel, per la tua risposta.
Sì, capisco; comunque penso che mi ricorderò il lim sup come il sup dell'insieme dei punti limite della successione (inclusi i punti limite che derivano da successioni estratte costanti).
Topologicamente parlando, la questione dovrebbe essere così: non devo prendere solo il derivato ma tutta la chiusura (tutti i punti di aderenza) dell'insieme delle immagini (quindi la chiusura di $"im" f$, essendo $f: NN to RR$ con $f(n)= a_n$). Questo, infatti, mi permette di includere in $E$ anche quegli $x$ tali per cui esistono infiniti indici distinti $n_j$ t.c. $a_(n_j)=x$. Questo dovrebbe provare che E è chiuso in $RR$ e quindi ammette max e min.
Ok?
GRAZIE.
P.S. So di essere rompiscatole
, ma avrei ancora una curiosità: questi concetti sono nati prima o dopo quello di limite di successione? Cioè, prima abbiamo imparato a trovare il limite di una successione e poi abbiamo inventato i lim sup e lim inf o vicerversa? Chiedo questo perchè credo che il fatto che il limite di una successione esista sia una circonstanza abbastanza particolare. Voglio dire: se sparo infiniti numeri a caso (una successione, appunto) è "difficile" (nel senso comune del termine) che questi si avvicinino sempre di più a un valore, no? Invece il lim sup e il lim inf ci sono sempre, anche se invento robe strampalate... Bah, miracoli dell'Analisi. 
Grazie ancora.
"Rigel":
Diciamo che ha dato un'informazione incompleta:
i punti $x$ di $E$ (la classe limite definita prima) sono o punti di accumulazione di $(a_n)$ (nei reali estesi) oppure tali che esistono infiniti indici distinti $n_j$ con $a_{n_j} = x$.
Sì, capisco; comunque penso che mi ricorderò il lim sup come il sup dell'insieme dei punti limite della successione (inclusi i punti limite che derivano da successioni estratte costanti).
"Rigel":
Riguardo l'esistenza:
se usi la definizione di luca va bene il tuo ragionamento.
Se invece usi la definizione (equivalente) tramite classe limite, basta dimostrare che l'insieme $E$ è non vuoto e chiuso (sempre nei reali estesi).
Di conseguenza ammette massimo e minimo (sempre nei reali estesi): se non ti piace usare i reali estesi, vedi subito che se $(a_n)$ non è limitata superiormente allora $"limsup" a_n = +\infty$, mentre se $(a_n)$ è limitata superiormente allora $"limsup" a_n = \max E$ (massimo che esiste).
Analogamente per il liminf.
Topologicamente parlando, la questione dovrebbe essere così: non devo prendere solo il derivato ma tutta la chiusura (tutti i punti di aderenza) dell'insieme delle immagini (quindi la chiusura di $"im" f$, essendo $f: NN to RR$ con $f(n)= a_n$). Questo, infatti, mi permette di includere in $E$ anche quegli $x$ tali per cui esistono infiniti indici distinti $n_j$ t.c. $a_(n_j)=x$. Questo dovrebbe provare che E è chiuso in $RR$ e quindi ammette max e min.
Ok?
GRAZIE.
P.S. So di essere rompiscatole
, ma avrei ancora una curiosità: questi concetti sono nati prima o dopo quello di limite di successione? Cioè, prima abbiamo imparato a trovare il limite di una successione e poi abbiamo inventato i lim sup e lim inf o vicerversa? Chiedo questo perchè credo che il fatto che il limite di una successione esista sia una circonstanza abbastanza particolare. Voglio dire: se sparo infiniti numeri a caso (una successione, appunto) è "difficile" (nel senso comune del termine) che questi si avvicinino sempre di più a un valore, no? Invece il lim sup e il lim inf ci sono sempre, anche se invento robe strampalate... Bah, miracoli dell'Analisi. Grazie ancora.
Per provare che è chiuso ti basta l'osservazione che se un punto è di accumulazione di punti limiti, allora puoi costruire facilmente una sottosuccessione che vi converge.
Circa la tua osservazione è giustissima, infatti questi limiti esistono sempre, ma se sia nato prima l'uovo o la gallina non saprei.
La definizione di Luca e e quella suggerita da dissonance sono equivalenti.
L'estensione che rende quelle due definizioni equivalenti è proprio l'aggiunta del punto limite all'infinito, implicito nella definizione di Luca, escluso nella definizione suggerita da dissonance se escludiamo i casi $oo$ quali punti limiti, inlcudendoli, allora le due definizioni si equivalgono perfettamente. Io preferisco la definizione suggerita da dissonance, ma devo dire che quella di Luca è quella più usata e intuitiva per molti importanti teoremi di analisi.
Circa la tua osservazione è giustissima, infatti questi limiti esistono sempre, ma se sia nato prima l'uovo o la gallina non saprei.
La definizione di Luca e e quella suggerita da dissonance sono equivalenti.
L'estensione che rende quelle due definizioni equivalenti è proprio l'aggiunta del punto limite all'infinito, implicito nella definizione di Luca, escluso nella definizione suggerita da dissonance se escludiamo i casi $oo$ quali punti limiti, inlcudendoli, allora le due definizioni si equivalgono perfettamente. Io preferisco la definizione suggerita da dissonance, ma devo dire che quella di Luca è quella più usata e intuitiva per molti importanti teoremi di analisi.
Il concetto che è nato per primo è il concetto di limite per funzioni, che si trova già detto abbastanza bene negli scritti di Newton. La prima definizione $\varepsilon-\delta$ di limite di funzione risale a Bolzano e Weierstrass. La nozione di limite di successione invece è più tardiva, così come la nozione di limsup/liminf.
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