Una domanda su integrale di Riemann
Ho una domanda abbastanza stupida da porre 
Credo di non aver ben afferrato un concetto sugli integrali di Riemann, ossia il perché un punto ha misura nulla (cioè a parolacce: che ai fini dell'integrazione non conta poi molto) per tale tipo di integrali.
Ho visto come viene decomposto l'intervallo e la costruzione dell'integrale, però sono ancora un attimo confuso perché ci sono un po' di informazioni da rielaborare
. Mi scuso per la domanda, quindi, ma credo possa aiutarmi a capire meglio forse.
Credo di non aver ben afferrato un concetto sugli integrali di Riemann, ossia il perché un punto ha misura nulla (cioè a parolacce: che ai fini dell'integrazione non conta poi molto) per tale tipo di integrali.
Ho visto come viene decomposto l'intervallo e la costruzione dell'integrale, però sono ancora un attimo confuso perché ci sono un po' di informazioni da rielaborare
. Mi scuso per la domanda, quindi, ma credo possa aiutarmi a capire meglio forse.
Risposte
Che il punto abbia misura nulla è una cosa; che sia trascurabile è un'altra.
Quale tra le due cose non ti è chiara?
Quale tra le due cose non ti è chiara?
Pensavo che avendo misura nulla rimanesse "trascurabile" nell'integrazione, nel senso che non ne dava contributo.
Posso chiederti delucidazioni su entrambe le cose? Perché credo di dover chiarire meglio la faccenda ed eventuali legami perché sono un po' confuso come vedi
Ti ringrazio molto.
Posso chiederti delucidazioni su entrambe le cose? Perché credo di dover chiarire meglio la faccenda ed eventuali legami perché sono un po' confuso come vedi
Ti ringrazio molto.
Beh, che definizione di "insieme di misura nulla" hai?
Grazie ancora, in realtà poco... nulla, nel senso che trattava il caso di discontinuità il libro "soardi"e accenna che anche per Lebesgue (che manco ha introdotto) vale una cosa simile per misura nulla da qui pensavo che fossero la stessa cosa.
Non ho grandi nozioni di misura nulla, se non quelle del testo di analisi 1, ho letto dopo il tuo intervento che esiste una teoria ecc di cui sinceramente ho capito poco nulla (ho visto su wiki perché non sapevo bene dove cercare, so che è sbagliato ma era solo per avere un'idea)
Insomma, non so bene come risponderti perché non la ho. Il mio dubbio era nato solo per cercare di capire perché un punto non crea problemi nell'integrazione alla riemann. Però l'aver detto misura nulla ha aperto ancora più dubbi perché ora sono curioso
Non ho grandi nozioni di misura nulla, se non quelle del testo di analisi 1, ho letto dopo il tuo intervento che esiste una teoria ecc di cui sinceramente ho capito poco nulla (ho visto su wiki perché non sapevo bene dove cercare, so che è sbagliato ma era solo per avere un'idea)
Insomma, non so bene come risponderti perché non la ho. Il mio dubbio era nato solo per cercare di capire perché un punto non crea problemi nell'integrazione alla riemann. Però l'aver detto misura nulla ha aperto ancora più dubbi perché ora sono curioso
Visto che non hai alcun appoggio teorico, facciamo le cose semplici.
1. Un insieme $E sube RR$ ha misura nulla secondo Peano & Jordan se e solo se per ogni $epsilon > 0$ esiste un numero finito $N$ di intervalli $I_n = (a_n, b_n)$ tali che $E sube cup_(n =1)^N I_n$ e $sum_(n =1)^N b_n - a_n < epsilon$.
Con questa definizione, mostrare che un insieme contenente un numero finito di punti ha misura nulla è banale; altrettanto banale è provare che hanno misura nulla tutte le successioni convergenti e, più in generale, tutte le successioni con un numero finito di punti limite.
2. Che un punto sia trascurabile a livello di integrazione discende intuitivamente dal T.F.d.C.I.
Infatti, per fare le cose semplici, se $f,f^**:[a,b] -> RR$ sono funzioni integrabili e se $f(x) = f^**(x)$ in $[a,b]$ ad eccezione di un punto $c in ]a,b]$, allora visto che:
$F(x) = F^**(x)$ per $a <= x < c$
e che le funzioni integrali di punto iniziale $a$ sono continue, si ha:
$int_a^c f(t)"d"t = F(c) = lim_(x -> c^-) F(x) = lim_(x -> c^-) F^**(x) = F^**(c) = int_a^c f^**(t)"d"t$.
1. Un insieme $E sube RR$ ha misura nulla secondo Peano & Jordan se e solo se per ogni $epsilon > 0$ esiste un numero finito $N$ di intervalli $I_n = (a_n, b_n)$ tali che $E sube cup_(n =1)^N I_n$ e $sum_(n =1)^N b_n - a_n < epsilon$.
Con questa definizione, mostrare che un insieme contenente un numero finito di punti ha misura nulla è banale; altrettanto banale è provare che hanno misura nulla tutte le successioni convergenti e, più in generale, tutte le successioni con un numero finito di punti limite.
2. Che un punto sia trascurabile a livello di integrazione discende intuitivamente dal T.F.d.C.I.
Infatti, per fare le cose semplici, se $f,f^**:[a,b] -> RR$ sono funzioni integrabili e se $f(x) = f^**(x)$ in $[a,b]$ ad eccezione di un punto $c in ]a,b]$, allora visto che:
$F(x) = F^**(x)$ per $a <= x < c$
e che le funzioni integrali di punto iniziale $a$ sono continue, si ha:
$int_a^c f(t)"d"t = F(c) = lim_(x -> c^-) F(x) = lim_(x -> c^-) F^**(x) = F^**(c) = int_a^c f^**(t)"d"t$.
Grazie mille, sei stato molto chiaro e semplice
Leggendo la discussione vorrei porre una domanda al gentile @gugo82 per un chiarimento
Mi è chiaro il ragionamento logico ma non un passaggio e credo di sbagliare qualcosa nell'interpretarlo.
In particolare il punto $lim_(x -> c^-) F(x) = lim_(x -> c^-) F^**(x)$
Io come ipotesi ho solo che $F(x) = F^**(x)$ per $a <= x < c$
Non capisco quale teorema mi sfugga del perché avendo due generiche funzioni g(x) e h(x) che sono identiche per ogni x in $a <= x < c$ => $g(x)=h(x)$ allora esse siano identiche anche al limite: $lim_(x->c-)g(x)=lim_(x->c-)h(x)$ che mi sembra essere proprio quello che si sfrutta in quel passaggio.
Grazie mille!
"gugo82":
$F(x) = F^**(x)$ per $a <= x < c$
e che le funzioni integrali di punto iniziale $a$ sono continue, si ha:
$int_a^c f(t)"d"t = F(c) = lim_(x -> c^-) F(x) = lim_(x -> c^-) F^**(x) = F^**(c) = int_a^c f^**(t)"d"t$.
Mi è chiaro il ragionamento logico ma non un passaggio e credo di sbagliare qualcosa nell'interpretarlo.
In particolare il punto $lim_(x -> c^-) F(x) = lim_(x -> c^-) F^**(x)$
Io come ipotesi ho solo che $F(x) = F^**(x)$ per $a <= x < c$
Non capisco quale teorema mi sfugga del perché avendo due generiche funzioni g(x) e h(x) che sono identiche per ogni x in $a <= x < c$ => $g(x)=h(x)$ allora esse siano identiche anche al limite: $lim_(x->c-)g(x)=lim_(x->c-)h(x)$ che mi sembra essere proprio quello che si sfrutta in quel passaggio.
Grazie mille!
Le due funzioni coincidono ovunque a sinistra di $c$ e ciò significa che stai dando solo nomi diversi alla stessa cosa.
D'altra parte, non è questo il significato ingenuo di uguaglianza?
Se poi vuoi proprio essere formale, scrivi la definizione di limite per $F$ e renditi conto del fatto che puoi sostituirvi $F^**$ impunemente.
D'altra parte, non è questo il significato ingenuo di uguaglianza?
Se poi vuoi proprio essere formale, scrivi la definizione di limite per $F$ e renditi conto del fatto che puoi sostituirvi $F^**$ impunemente.
Grazie, mi confondeva il fatto che alcune proprietà valide su $[a,d)$ per ogni $d\in(a,c)$ non è detto valgano per $[a,c]$, e quindi pensavo che anche con la funzione ci fosse qualche restrizione nell'applicare impunemente una uguaglianza.
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